Двойственность Спаниера – Уайтхеда

В математике двойственность Спаниера -Уайтхеда — это теория двойственности в гомотопической теории , основанная на геометрической идее, что топологическое пространство X можно рассматривать как двойственное своему дополнению в n - сфере , где n достаточно велико. Его истоки лежат в теории двойственности Александера , в теории гомологии , касающейся дополнений в многообразиях . Теория также называется S-дуальностью , но теперь это может вызвать возможную путаницу с S-дуальностью теории струн . Он назван в честьEdwin Spanier и JHC Whitehead , разработавшие его в статьях 1955 года.

Основной момент состоит в том, что дополнения сферы определяют гомологии, но не гомотопический тип вообще. Однако определен стабильный гомотопический тип , который был задуман как первое приближение к гомотопическому типу. Таким образом, двойственность Спаниера-Уайтхеда укладывается в стабильную гомотопическую теорию .

Пусть X — компактный окрестностный ретракт в . Тогда и являются двойственными объектами в категории точечных спектров с произведением смэша в виде моноидальной структуры. Здесь союз и точка, а соответственно редуцированная и нередуцированная подвески . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle Х ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ Sigma ^ {- n} \ Sigma '(\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus X)}$ ${\ Displaystyle Х ^ {+}}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle \ сигма}$ ${\ Displaystyle \ сигма '}$

Гомологии и когомологии по отношению к спектру Эйленберга – Маклейна формально восстанавливают двойственность Александера .