Ретракция (топология)
В топологии , разделе математики , ретракция — это непрерывное отображение топологического пространства в подпространство , которое сохраняет положение всех точек в этом подпространстве. [1] Тогда подпространство называется ретрактом исходного пространства. Ретракция деформации — это отображение, которое отражает идею непрерывного сжатия пространства в подпространство.
Ретракт абсолютной окрестности ( ANR ) является особенно хорошим типом топологического пространства. Например, каждое топологическое многообразие является ANR. Каждое ANR имеет гомотопический тип очень простого топологического пространства, CW-комплекса .
является ретракцией , если ограничение r на A является тождественным отображением на A ; то есть для всех a в A . Эквивалентно, обозначая через
то есть композиция r с включением есть тождество A . Обратите внимание, что по определению ретракция отображает X на A . Подпространство A называется ретрактом X , если такая ретракция существует. Например, любое непустое пространство стягивается в точку очевидным образом (константное отображение дает стягивание). Если X хаусдорфово , то A должно бытьзамкнутым подмножеством X.
Если ретракция, то композиция ι∘ r является идемпотентным непрерывным отображением из X в X . Наоборот, при любом идемпотентном непрерывном отображении мы получаем ретракцию на образ s , ограничивая область значений .
Другими словами, деформационная ретракция является гомотопией между ретракцией и тождественным отображением на X . Подпространство A называется деформационным ретрактом X . Деформационная ретракция является частным случаем гомотопической эквивалентности .