Александр двойственность

В математике , Александр двойственность относится к теории двойственности предзнаменовала по результату 1915 года JW Александра , а затем дальнейшее развитие, в частности Павла Александровым и Понтрягиным . Это относится к свойствам теории гомологии дополнения подпространства X в евклидовом пространстве , сфере или другом многообразии . Он обобщается двойственностью Спаниера – Уайтхеда .

Общие положения для сфер [ править ]

Пусть быть компактным , локально стягивает подпространство сферы размерности п . Позвольте быть дополнением к in . Тогда, если обозначает редуцированные гомологии или редуцированные когомологии с коэффициентами в данной абелевой группе , существует изоморфизм ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ Displaystyle S ^ {п} \ setminus X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S ^ {п}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {H}}}$

{\ Displaystyle {\ тильда {H}} _ {q} (S ^ {n} \ setminus X) \ cong {\ tilde {H}} ^ {nq-1} (X)}

для всех . Обратите внимание, что мы можем отказаться от локальной сократимости как части гипотезы, если мы используем когомологию Чеха , которая предназначена для работы с локальными патологиями. ${\ displaystyle q \ geq 0}$

Приложения [ править ]

Это полезно для вычисления когомологий дополнений узлов и зацеплений в . Напомним, что узел - это вложение, а зацепление - это несвязное объединение узлов, таких как кольца Борромео . Тогда, если мы запишем ссылку / узел как , мы получим ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ $K\colon S^{1}\hookrightarrow S^{3}$ $L$

{\tilde {H}}_{q}(S^{3}\setminus L)\cong {\tilde {H}}^{3-q-1}(L)

,

дающий метод вычисления групп когомологий. Затем с помощью продуктов Massey можно различать разные ссылки . ^[1] Группы гомологии

{\begin{aligned}{\tilde {H}}_{0}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{2}(L)=0\\{\tilde {H}}_{1}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{1}(L)=\mathbb {Z} ^{\oplus 3}\\{\tilde {H}}_{2}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{0}(L)=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\{\tilde {H}}_{3}(S^{3}\setminus L)&\cong 0\\\end{aligned}}

для колец Борромео. $L$

Двойственность Александра для конструктивных пучков [ править ]

Для гладких многообразий двойственность Александера является формальным следствием двойственности Вердье для пучков абелевых групп. Точнее, если мы обозначим гладкое многообразие, и пусть будет замкнутое подпространство (например, подпространство, представляющее цикл или подмногообразие), представленное включением , и если - поле, то если - пучок -векторных пространств имеем следующий изоморфизм ^[2]^:³⁰⁷ $X$ $Y\subset X$ $i\colon Y\hookrightarrow X$ $k$ ${\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}_{k}(Y)$ $k$

H_{c}^{s}(Y,{\mathcal {F}})^{\vee }\cong \operatorname {Ext} _{k}^{n-s}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[n-s])

,

где группа когомологий слева является когомологиями с компактным носителем . Мы можем распаковать это утверждение дальше, чтобы лучше понять, что оно означает. Во-первых, если - постоянный пучок и - гладкое подмногообразие, то получим ${\mathcal {F}}={\underline {k}}$ $Y$

\operatorname {Ext} _{k}^{n-s}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[n-r])\cong H_{Y}^{n-s}(X,\omega _{X})

,

где группа когомологий справа - это локальные когомологии с носителем в . Путем дальнейших редукций можно отождествить гомологии с когомологиями . Это полезно в алгебраической геометрии для вычисления групп когомологий проективных многообразий и используется для построения базиса структуры Ходжа гиперповерхностей степени с использованием кольца якобиана . $Y$ $X\setminus Y$ $Y$ $d$

Результат Александра 1915 г. [ править ]

Возвращаясь к исходной работе Александра, предполагается, что X - симплициальный комплекс .

У Александра было мало современного оборудования, и его результат был только для чисел Бетти с коэффициентами, взятыми по модулю 2. Чего и следовало ожидать, мы получаем из примеров. Например, конструкция тора Клиффорда в 3-сфере показывает, что дополнение к полноторию является другим полноторием; который будет открытым, если другой будет замкнут, но это не влияет на его гомологию. Каждое полноторие с гомотопической точки зрения представляет собой окружность . Если мы просто запишем числа Бетти

1, 1, 0, 0

круга (с точностью до , так как мы находимся в 3-сфере), затем переверните, как $H_{3}$

0, 0, 1, 1

а затем сдвиньте один влево, чтобы получить

0, 1, 1, 0

возникает трудность, поскольку мы не получаем того, с чего начали. С другой стороны, такая же процедура применяется к уменьшенным числам Бетти, для которых начальное число Бетти уменьшается на 1, начинается с

0, 1, 0, 0

и дает

0, 0, 1, 0

откуда

0, 1, 0, 0.

Это действительно работает, предсказывая уменьшенные числа Бетти дополнения.

Прототипом здесь является теорема о кривой Жордана , которая топологически касается дополнения круга в сфере Римана . Он также рассказывает ту же историю. У нас есть честные номера Бетти

1, 1, 0

круга, и поэтому

0, 1, 1

перевернув и

1, 1, 0

сдвинувшись влево. Это дает нечто отличное от того, что утверждает теорема Джордана, а именно наличие двух компонентов, каждая из которых стягиваема ( теорема Шенфлиса , если быть точным в отношении того, что здесь используется). То есть правильный ответ в честных числах Бетти:

2, 0, 0.

Опять же, работают уменьшенные числа Бетти. С них мы начнем с

0, 1, 0

закончить с

1, 0, 0.

Таким образом, из этих двух примеров можно вывести формулировку Александра: уменьшенные числа Бетти связаны в дополнениях соотношением ${\tilde {b}}_{i}$

{\tilde {b}}_{i}\to {\tilde {b}}_{n-i-1}

.

Ссылки [ править ]

^ Мэсси, Уильям С. (1998-05-01). «Связующие числа высшего порядка» (PDF) . Журнал теории узлов и ее разветвлений . 07 (03): 393–414. DOI : 10.1142 / S0218216598000206 . ISSN 0218-2165 . Архивировано из оригинала на 2 февраля 2021 года .
^ Иверсен, Биргер (1986). Когомологии пучков . Берлин: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 . ISBN 0-387-16389-1. OCLC 13269489 .

Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 254. ISBN 0-521-79540-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)
«Двойственность Александра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Дальнейшее чтение [ править ]

Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для выпускников по математике . 227 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . Гл. 5 Александр Двойственность . ISBN 0-387-22356-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[1] Мэсси, Уильям С. (1998-05-01). «Связующие числа высшего порядка» (PDF) . Журнал теории узлов и ее разветвлений . 07 (03): 393–414. DOI : 10.1142 / S0218216598000206 . ISSN 0218-2165 . Архивировано из оригинала на 2 февраля 2021 года .

[2] Иверсен, Биргер (1986). Когомологии пучков . Берлин: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 . ISBN 0-387-16389-1. OCLC 13269489 .

[1]