Уменьшенная гомология

В математике приведенная гомология — это незначительная модификация теории гомологии в алгебраической топологии , мотивированная интуицией, что все группы гомологии одной точки должны быть равны нулю. Эта модификация позволяет сделать более краткие утверждения (как в двойственности Александера ) и устраняет многие исключительные случаи (как в группах гомологий сфер ).

изоморфна ( бесконечной циклической группе ), а для i ⩾ 1 имеем ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В более общем случае, если X является симплициальным комплексом или конечным CW-комплексом , то группа H ₀ ( X ) является свободной абелевой группой с компонентами связности X в качестве образующих. Приведенные гомологии должны заменить эту группу, скажем, ранга r на группу ранга r − 1. В противном случае группы гомологии должны остаться неизменными. Специальный способ сделать это - думать о 0-м классе гомологии не как о формальной сумме компонентов связности, а как о такой формальной сумме, где коэффициенты в сумме равны нулю.

и определить группы гомологий через . ${\ Displaystyle Н_ {п} (Х) = \ кер (\ парциальное _ {п}) / \ mathrm {им} (\ парциальное _ {п + 1})}$

$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0$