Локальные когомологии

В алгебраической геометрии , локальные когомологии являются аналогом относительных когомологий . Александр Гротендик представил его на семинарах в Гарварде в 1961 году, написанных Хартсхорном (1967) , и в 1961-2 годах на IHES, написанном как SGA2 - Grothendieck (1968) , переизданном как Grothendieck (2005) .

Определение [ править ]

В геометрической форме теории, разделы рассматриваются из связки из абелевых групп , на топологическом пространстве , при поддержке в замкнутом подмножестве года производные функторы из форм локальных групп когомологий${\ displaystyle \ Gamma _ {Y}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Gamma _{Y}}$

${\displaystyle H_{Y}^{i}(X,F)}$

Для применения в коммутативной алгебре , пространство Х представляет собой спектр Spec ( R ) коммутативное кольцо R (должно быть нетерова в этой статье) , а пучок Р является квазикогерентным пучком , связанным с R - модуль М , обозначаемой . Замкнутая подсхема Y определяется в идеальном I . В этой ситуации функтор Γ _Y ( F ) соответствует аннулятору${\displaystyle {\tilde {M}}}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\bigcup _{n\geq 0}(0:_{M}I^{n}),}$

т.е. элементы М , которые уничтожали некоторую силу I . Эквивалентно,

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Hom} _{R}(R/I^{n},M),}$

что также показывает, что локальные когомологии квазикогерентных пучков согласуются с

${\displaystyle H_{I}^{i}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/I^{n},M).}$

Использование комплексов Кошуля [ править ]

Для идеала локальные группы когомологий могут быть вычислены с помощью копредела комплексов Кошуля :${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

${\displaystyle H_{I}^{i}(M)=\varinjlim _{m}H^{i}\left(\operatorname {Hom} _{R}\left(K^{\bullet }\left(f_{1}^{m},\dots ,f_{n}^{m}\right),M\right)\right),}$

Поскольку комплексы Кошуля обладают тем свойством, что умножение на как цепной комплексный морфизм гомотопно нулю, ^[1] значение аннулируется , ненулевое отображение в копределах гом-множеств содержит отображения из всех, кроме конечного числа комплексов Кошуля , и которые не аннулируются каким-либо элементом идеала. ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle \cdot f_{i}:K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})\to K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})}$${\displaystyle H^{i}(K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n}))}$${\displaystyle f_{i}}$

Кроме того, этот копредел комплексов Кошуля можно вычислить ^[2] как комплекс Чеха

${\displaystyle R\to \prod _{i_{0}}R_{f_{i}}\to \prod _{i_{0}<i_{1}}R_{f_{i_{0}}f_{i_{1}}}\to \cdots \to R_{f_{1}\cdots f_{n}}}$

Основные свойства [ править ]

Существует длинный точная последовательность из пучка когомологий связывающей обычных пучка когомологии X и из открытого множества U = X \ Y , с местными группами когомологий.

В частности, это приводит к точной последовательности

${\displaystyle 0\to H_{I}^{0}(M)\to M{\stackrel {\text{res}}{\to }}H^{0}(U,{\tilde {M}})\to H_{I}^{1}(M)\to 0,}$

где U - открытое дополнение к Y, а средняя карта - ограничение секций. Цель этой карты ограничений также называется идеальным преобразованием . При n ≥ 1 существуют изоморфизмы

${\displaystyle H^{n}(U,{\tilde {M}}){\stackrel {\cong }{\to }}H_{I}^{n+1}(M).}$

Важным частным случаем является случай, когда R является градуированным , I состоит из элементов степени ≥ 1, а M - градуированный модуль. ^[3] В этом случае когомологии U можно отождествить с группами когомологий

${\displaystyle \bigoplus _{k\in \mathbf {Z} }H^{n}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(k))}$

из проективной схемы , ассоциированной с R и ( K ) обозначает Серру завихрение . Это связывает локальные когомологии с глобальными когомологиями на проективных схемах. Например, регулярность Кастельнуово – Мамфорда может быть сформулирована с помощью локальных когомологий. ^[4]

Отношение к инвариантам модулей [ править ]

Размерность dim _R (M) модуля (определяемая как размерность Крулля его носителя) обеспечивает верхнюю границу для локальных групп когомологий: ^[5]

${\displaystyle H_{I}^{n}(M)=0{\text{ for all }}n>\dim _{R}(M).}$

Если R является локальным и М конечно порождены , то эта оценка является точной, то есть .${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0}$

Глубина (определяемая как максимальная длина регулярной M -sequence , также упоминается как сорт М ) обеспечивает резкое нижней границы, то есть, это наименьшее целое число п такое , что ^[6]

${\displaystyle H_{I}^{n}(M)\neq 0.}$

Эти две оценки вместе дают характеристику модулей Коэна – Маколея над локальными кольцами: это как раз те модули, которые равны нулю для всех n, кроме одного .${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)}$

Локальная двойственность [ править ]

Теорема локальной двойственности является локальным аналогом двойственности Серра . Для полного локального кольца Коэна-Маколея R он утверждает, что естественное спаривание

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\times \operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega )\to H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)}$

является идеальным спариванием , где ω является дуализирующим модулем для R . ^[7]

Приложения [ править ]

Первоначальные приложения были к аналогам теорем Лефшеца о гиперплоскостях . В общем случае таких теорем состояния , что гомологии или когомологии поддерживаются на гиперплоское сечении в качестве алгебраического многообразия , для некоторой «потери» , что можно контролировать за исключением того . Эти результаты применимы к алгебраической фундаментальной группе и группе Пикара .

Другой тип приложения являются связанность теорем , такие как теоремы Гротендика связности (местный аналог теоремы Бертини ) , или теорему Фултон-Хансен связанности из - за Фултон и Хансен (1979) и Фалтингсом (1979) . Последний утверждает , что для двух проективных многообразий V и W в P ^г над алгебраически замкнутым полем , то связность размерность из Z = V ∩ W (то есть, минимальная размерность замкнутого подмножества Т из Zкоторый должен быть удален из Z , так что дополнение Z \ Т является отсоединен ) связан

c ( Z ) ≥ dim V + dim W - r - 1.

Например, Z связно, если dim V + dim W > r . ^[8]

См. Также [ править ]

• Локальные гомологии - дает топологический аналог и вычисление локальных гомологий конуса пространства.

Заметки [ править ]

Вводный справочник [ править ]

• Хунеке, Крейг; Тейлор, Амелия, Лекции по локальной когомологии

Ссылки [ править ]

• Бродман, депутат; Шарп, Р.Й. (1998), Локальные когомологии: алгебраическое введение с геометрическими приложениями (2-е изд.), Cambridge University Press Рецензия на книгу Хартсхорна
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике . 150 . Нью-Йорк: Springer-Verlag . xvi + 785. ISBN 0-387-94268-8. Руководство по ремонту  1322960 .
• Фальтингс, Герд (1979), "Алгебраизация некоторых формальных векторных расслоений", Ann. математики. , 2, 110 (3): 501-514, DOI : 10,2307 / 1971235 , МР  0554381
• Fulton, W .; Хансен, Дж. (1979), «Теорема связности для проективных многообразий с приложениями к пересечениям и особенностям отображений», Annals of Mathematics , Annals of Mathematics, 110 (1): 159–166, doi : 10.2307 / 1971249 , JSTOR  1971249
• Гротендик, Александр (2005) [1968], семинария Geometrie Algébrique Дюбуа Marie - 1962 - Cohomologie локаль де faisceaux cohérents и др théorèmes де Lefschetz locaux и др globaux - (SGA 2) , Документы Mathématiques (Париж), 4 , Париж: Société Mathematique de France , arXiv : math / 0511279 , Bibcode : 2005math ..... 11279G , ISBN 978-2-85629-169-6, MR  2171939
• Гротендик, Александр (1968) [1962]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2) (Advanced Studies in Pure Mathematics 2 ) (на французском языке). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии. vii + 287.
• Хартсхорн, Робин (1967) [1961], Локальные когомологии. Семинар А. Гротендика, Гарвардский университет, осень, 1961 г. , конспекты лекций по математике, 41 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0073971 , MR  0224620
• Iyengar, Srikanth B .; Leuschke, Graham J .; Лейкин, Антон; Миллер, Клаудиа; Миллер, Эзра; Сингх, Анураг К .; Вальтер, Ули (2007), 24 часа локальной когомологии , аспирантура по математике , 87 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / gsm / 087 , ISBN 978-0-8218-4126-6, Руководство по ремонту  2355715