В теоретической физике и математике модель Весса – Зумино – Виттена ( WZW ) , также называемая моделью Весса – Зумино – Новикова – Виттена , представляет собой тип двумерной конформной теории поля, названной в честь Юлиуса Весса , Бруно Зумино , Сергея Новикова и Эдвард Виттен . [1] [2] [3] [4] Модель WZW ассоциирована с группой (или супергруппой ) Ли , а ее алгебра симметрий является аффинной алгеброй Ли, построенной из соответствующейАлгебра Ли (или супералгебра Ли ). В более широком смысле, модель WZW иногда используется для любой конформной теории поля, алгебра симметрий которой является аффинной алгеброй Ли. [5]
Действие
Определение
Для риманова поверхность ,группа Ли , и (обычно комплексное) число, определим -WZW модель на на уровне . Модель представляет собой нелинейную сигма-модель , действие которой является функционалом поля:
Здесь, снабжена плоской евклидовой метрикой ,- частная производная , аявляется формой Киллинга на алгебре Ли из. Весс-Зумин в действии
Здесь - полностью антисимметричный тензор , а- скобка Ли . Член Весса – Зумино представляет собой интеграл по трехмерному многообразию чья граница .
Топологические свойства члена Весса – Зумино
Чтобы член Весса – Зумино имел смысл, нам нужно поле иметь расширение . Для этого требуется гомотопическая группа быть тривиальным, что имеет место, в частности, для любой компактной группы Ли .
Расширение данного к в общем не единственный. Чтобы модель WZW была четко определена,не должно зависеть от выбора расширения. Член Весса – Зумино инвариантен относительно малых деформаций, и зависит только от его гомотопического класса . Возможные гомотопические классы контролируются гомотопической группой.
Для любой компактной связной простой группы Ли , у нас есть , и различные расширения привести к ценностям которые различаются целыми числами. Следовательно, они приводят к одинаковому значению при условии, что уровень подчиняется
Целочисленные значения уровня также играют важную роль в теории представлений алгебры симметрий модели, которая является аффинной алгеброй Ли . Если уровень является положительным целым числом, аффинная алгебра Ли имеет унитарные представления со старшим весом со старшим весом, которые являются доминирующим целым. Такие представления распадаются на конечномерные подпредставления относительно подалгебр, натянутых на каждый простой корень , соответствующий отрицательный корень и их коммутатор, который является генератором Картана .
В случае некомпактной простой группы Ли , гомотопическая группа является тривиальным, и уровень не обязательно должен быть целым числом. [6]
Геометрическая интерпретация члена Весса – Зумино.
Если e a - базисные векторы алгебры Ли , то- структурные константы алгебры Ли. Структурные константы полностью анти-симметричные, и , таким образом , они образуют 3-форму на групповое многообразие из G . Таким образом, подынтегральное выражение выше - это просто возврат гармонической 3-формы к шаруОбозначив гармоническую 3-форму буквой c, а обратную связь - тогда есть
Эта форма непосредственно ведет к топологическому анализу WZ-члена.
Геометрически этот член описывает кручение соответствующего многообразия. [7] Наличие этого кручения вызывает телепараллельность многообразия и, таким образом, тривиализацию тензора крутильной кривизны ; и , следовательно , задержать потока перенормировки, в инфракрасной области фиксированной точки в группе перенормировки , явление называется geometrostasis .
Алгебра симметрии
Обобщенная групповая симметрия
Модель Весса-Зумино-Виттена не только симметрична относительно глобальных преобразований элементом группы в , но также имеет гораздо более богатую симметрию. Эту симметрию часто называютсимметрия. [8] А именно, для любого голоморфного-значная функция , и любые другие (полностью независимые от ) антиголоморфный -значная функция , где мы определили а также в координатах евклидова пространства , имеет место следующая симметрия:
Один из способов доказать существование этой симметрии - многократное применение тождества Полякова-Вигмана в отношении произведений -значные поля:
Голоморфные и антиголоморфные токи а также - сохраняющиеся токи, связанные с этой симметрией. Сингулярное поведение продуктов этих токов с другими квантовыми полями определяет, как эти поля трансформируются при бесконечно малых действиях группа.
Аффинная алгебра Ли
Позволять - локальная комплексная координата на , ортонормированный базис (относительно формы Киллинга ) алгебры Ли, а также квантование поля . У нас есть следующее расширение продукта оператора :
где коэффициенты такие, что . Эквивалентно, если расширяется в режимах
тогда текущая алгебра, порожденнаяявляется аффинной алгеброй Ли, ассоциированной с алгеброй Ли, с уровнем, совпадающим с уровнем модели WZW. [5] Если, обозначение аффинной алгебры Ли . Коммутационные соотношения аффинной алгебры Ли следующие:
Эта аффинная алгебра Ли является киральной алгеброй симметрии, связанной с токами, движущимися влево. . Вторая копия той же аффинной алгебры Ли связана с правыми токами. Генераторыэтого второго экземпляра антиголоморфны. Полная алгебра симметрий модели WZW является произведением двух копий аффинной алгебры Ли.
Строительство Сугавара
Конструкция Сугавары - это вложение алгебры Вирасоро в универсальную обертывающую алгебру аффинной алгебры Ли. Существование вложения показывает, что модели WZW являются конформными теориями поля. Более того, это приводит к уравнениям Книжника-Замолодчикова для корреляционных функций.
Конструкция Сугавара максимально лаконично записана на уровне токов: для аффинной алгебры Ли и тензор энергии-импульса для алгебры Вирасоро:
где обозначает нормальный порядок, а - двойственное число Кокстера . Используя ОПЕ токов и версию теоремы Вика, можно вывести, что ОПЕс собой дается [5]
что эквивалентно коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро. Центральный заряд алгебры Вирасоро дается в терминах уровня аффинной алгебры Ли
На уровне генераторов аффинной алгебры Ли конструкция Сугавары имеет вид
где генераторы алгебры Вирасоро являются модами тензора энергии-импульса, .
Спектр
Модели WZW с компактными односвязными группами
Если группа Ли компактна и односвязна, то модель WZW рациональна и диагональна: рациональна, потому что спектр строится из (зависящего от уровня) конечного набора неприводимых представлений аффинной алгебры Ли, называемого интегрируемыми представлениями старшего веса , и диагональной, поскольку представление алгебры, движущейся влево, сочетается с тем же представлением алгебры, движущейся вправо. [5]
Например, спектр Модель WZW на уровне является
где - аффинное представление спина со старшим весом : представление, порожденное состоянием такой, что
где ток, который соответствует генератору алгебры Ли .
Модели WZW с другими типами групп
Если группа компактна, но не односвязна, модель WZW рациональна, но не обязательно диагональна. Например, Модель WZW существует для четных целочисленных уровней , а его спектр представляет собой недиагональную комбинацию конечного числа интегрируемых представлений старшего веса. [5]
Если группа не компактна, модель WZW нерациональна. Более того, его спектр может включать в себя представления не самого высокого веса. Например, спектрМодель WZW построена из представлений старшего веса плюс их образы при автоморфизмах спектрального потока аффинной алгебры Ли. [6]
Если является супергруппой , спектр может включать представления, не факторизуемые как тензорные произведения представлений алгебр симметрий, движущихся влево и вправо. Это происходит, например, в случае, [9], а также в более сложных супергруппах, таких как. [10] Нефакторизуемые представления ответственны за тот факт, что соответствующие модели WZW являются логарифмическими конформными теориями поля .
Другие теории, основанные на аффинных алгебрах Ли
Известные конформные теории поля, основанные на аффинных алгебрах Ли, не ограничиваются WZW-моделями. Например, в случае аффинной алгебры Ли Модель WZW, модульные инвариантные статистические суммы тора подчиняются классификации ADE, где Модель WZW предназначена только для серии A. [11] Серия D соответствует Модель WZW, а серия E не соответствует ни одной модели WZW.
Другой пример - модель. Эта модель основана на той же алгебре симметрии, что иМодель WZW, с которой связана вращением Вика. Тем не менее не является, строго говоря, моделью WZW, так как не группа, а смежник. [12]
Поля и корреляционные функции
Поля
Учитывая простое представление алгебры Ли , аффинное первичное поле это поле, которое принимает значения в пространстве представления , такое что
Аффинное примарное поле также является первичным полем для алгебры Вирасоро, которое является результатом конструкции Сугавары. Конформная размерность аффинного примарного поля дается в терминах квадратичной функции Казимира представительства (т.е. собственное значение квадратичного элемента Казимира где является обратной матрицей формы убийства)
Например, в Модель WZW, конформная размерность первичного поля спина является
По соответствию поля состояний аффинные первичные поля соответствуют аффинным первичным состояниям , которые являются состояниями наивысшего веса представлений аффинной алгебры Ли со старшим весом .
Корреляционные функции
Если группа является компактным, спектр модели WZW состоит из представлений наивысшего веса, и все корреляционные функции могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей через тождества Уорда .
Если риманова поверхность - сфера Римана, корреляционные функции аффинных примарных полей подчиняются уравнениям Книжника-Замолодчикова . На римановых поверхностях высшего рода корреляционные функции подчиняются уравнениям Книжника-Замолодчикова-Бернара , которые включают производные не только от положения полей, но и от модулей поверхности. [13]
Измеренные модели WZW
Для подгруппы Ли , то калиброванная модель WZW (или модель смежного класса ) - это нелинейная сигма-модель, целевым пространством которой является фактордля присоединенного действия в на . Эта калиброванная модель WZW является конформной теорией поля, алгебра симметрий которой является фактором двух аффинных алгебр Ли а также Модели WZW, центральный заряд которых равен разности их центральных зарядов.
Приложения
Модель WZW, группа Ли которой является универсальным накрытием группыбыл использован Хуаном Малдасеной и Хироси Оогури для описания теории бозонных струн в трехмерном пространстве анти-де Ситтера. . [6] Суперструны на описываются моделью WZW на супергруппе , или его деформация, если включен флюс Рамона-Рамона. [14] [10]
Модели WZW и их деформации были предложены для описания плато-перехода в целочисленном квантовом эффекте Холла . [15]
В Калиброванная модель WZW интерпретируется в теории струн как двумерная евклидова черная дыра Виттена . [16] Эта же модель также описывает некоторые двумерные статистические системы при критичности, такие как критическая антиферромагнитная модель Поттса . [17]
Рекомендации
- ^ Wess, J .; Зумино, Б. (1971). «Последствия аномальной идентичности палаты» (PDF) . Физика Письма Б . 37 : 95. Bibcode : 1971PhLB ... 37 ... 95W . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (71) 90582-X .
- ^ Виттен, Э. (1983). «Глобальные аспекты алгебры токов». Ядерная физика Б . 223 (2): 422–432. Bibcode : 1983NuPhB.223..422W . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (83) 90063-9 .
- ^ Виттен, Э. (1984). «Неабелева бозонизация в двух измерениях». Сообщения по математической физике . 92 (4): 455–472. Bibcode : 1984CMaPh..92..455W . DOI : 10.1007 / BF01215276 .
- ^ Новиков, СП (1981). «Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса». Сов. Матем., Докл . 24 : 222–226.; Новиков, С.П. (1982). «Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса». Российские математические обзоры . 37 (5): 1–9. Bibcode : 1982RuMaS..37 .... 1N . DOI : 10.1070 / RM1982v037n05ABEH004020 .
- ^ а б в г д Di Francesco, P .; Mathieu, P .; Сенешаль Д. (1997), Теория конформного поля, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94785-X
- ^ а б в Maldacena, J .; Оогури, Х. (2001). «Струны в AdS 3 и модели SL (2, R) WZW. I: Спектр». Журнал математической физики . 42 (7): 2929. arXiv : hep-th / 0001053 . Bibcode : 2001JMP .... 42.2929M . DOI : 10.1063 / 1.1377273 .
- ^ Braaten, E .; Кертрайт, TL; Захос, СК (1985). «Кручение и геометростаз в нелинейных сигма-моделях». Ядерная физика Б . 260 (3-4): 630. Bibcode : 1985NuPhB.260..630B . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90053-7 .
- ^ Замолодчиков, А.Б .; Книжник, Б.Г. (1984). "Алгебра токов и двумерная модель Весса-Зумино". Ядерная физика Б. 247 : 83-103.
- ^ V. Schomerus, H. Saleur, "Модель GL (1 | 1) WZW: от супергеометрии к логарифмической CFT", arxiv: hep-th / 0510032
- ^ a b G. Gotz, T. Quella, V. Schomerus, "Модель WZNW на PSU (1,1 | 2)", arxiv: hep-th / 0610070
- ↑ Андреа Каппелли и Жан-Бернар Зубер (2010), «Классификация конформных теорий поля ADE» , Scholarpedia 5 (4): 10314.
- ^ K. Gawedzki, "Некомпактные теории конформного поля WZW", arxiv: hep-th / 9110076
- ^ G. Felder, C. Wieczerkowski, "Конформные блоки на эллиптических кривых и уравнения Книжника - Замолодчикова - Бернара", arxiv: hep-th / 9411004
- ^ Н. Берковиц, К. Вафа, Э. Виттен, "Теория конформного поля AdS-фона с потоком Рамона-Рамона", arxiv: hep-th / 9902098
- ^ М. Цирнбауэр, «Целочисленный квантовый переход плато Холла - это, в конце концов, алгебра токов», arXiv: 1805.12555
- ^ Виттен, Эдвард (1991). «Теория струн и черные дыры». Physical Review D . 44 (2): 314–324. DOI : 10.1103 / PhysRevD.44.314 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Н. Робертсон, Дж. Якобсен, Х. Салер, «Конформно-инвариантные граничные условия в антиферромагнитной модели Поттса и сигма-модели SL (2, ℝ) / U (1)», arXiv: 1906.07565