Стандартные буквы для обозначения символ Леви-Чивита являются греческий нижний регистр эпсилон ε или ε , или реже латинское строчными буквами е . Обозначение индекса позволяет отображать перестановки способом, совместимым с тензорным анализом:
где каждый индекс i 1 , i 2 , ..., i n принимает значения 1, 2, ..., n . Имеется n n индексированных значений ε i 1 i 2 … i n , которые могут быть организованы в n- мерный массив. Ключевым определяющим свойством символа является полная антисимметрия индексов. Когда любые два индекса меняются местами, равны или нет, символ инвертируется:
Если любые два индекса равны, символ равен нулю. Когда все показатели неравны, имеем:
где p (называемое четностью перестановки) - это количество попарных перестановок индексов, необходимых для расшифровки i 1 , i 2 , ..., i n в порядок 1, 2, ..., n , а множитель ( −1) p называется знаком или сигнатурой перестановки. Значение ε 1 2 ... n должно быть определено, иначе конкретные значения символа для всех перестановок не определены. Большинство авторов выбирают ε 1 2 ... n = +1., что означает, что символ Леви-Чивита равен знаку перестановки, когда все индексы не равны. Этот выбор используется в этой статье.
3.2.2 Тройное скалярное произведение (три вектора)
3.2.3 Curl (одно векторное поле)
4 Тензорная плотность
5 тензоров Леви-Чивиты
5.1 Пример: пространство Минковского
6 В проективном пространстве
7 См. Также
8 Примечания
9 ссылки
10 Внешние ссылки
Определение [ править ]
Символ Леви-Чивита чаще всего используется в трех и четырех измерениях и, в некоторой степени, в двух измерениях, поэтому они приведены здесь до определения общего случая.
Два измерения [ править ]
В двух измерениях символ Леви-Чивита определяется следующим образом:
Значения можно упорядочить в антисимметричную матрицу 2 × 2 :
Использование двумерного символа относительно редко, хотя в некоторых специализированных вопросах, таких как суперсимметрия [1] и теория твисторов [2], он появляется в контексте 2- спиноров . Чаще используются трехмерные символы Леви-Чивита.
Три измерения [ править ]
Для индексов ( i , j , k ) в ε ijk значения 1, 2, 3, входящие вциклический порядок (1, 2, 3) соответствует ε = +1 , в то время какобратный циклический порядок соответствует ε = −1 , иначе ε = 0 .
В трех измерениях символ Леви-Чивиты определяется следующим образом: [3]
То есть, ε IJK является 1 , если ( я , J , K ) является даже перестановкой из (1, 2, 3) , -1 , если оно является нечетной перестановкой , и 0 , если какой - либо индекс повторяется. В трех измерениях только, что циклические перестановки из (1, 2, 3) являются всеми четными подстановками, подобно как антициклические перестановки всех нечетных перестановок. Это означает, что в 3d достаточно взять циклические или антициклические перестановки (1, 2, 3) и легко получить все четные или нечетные перестановки.
Аналогично двумерным матрицам, значения трехмерного символа Леви-Чивиты можно упорядочить в массив 3 × 3 × 3 :
где i - глубина ( синий : i = 1 ; красный : i = 2 ; зеленый : i = 3 ), j - строка, а k - столбец.
Несколько примеров:
Четыре измерения [ править ]
В четырех измерениях символ Леви-Чивиты определяется:
Эти значения могут быть организованы в массив 4 × 4 × 4 × 4 , хотя в четырех измерениях и выше это трудно нарисовать.
Несколько примеров:
Обобщение до n измерений [ править ]
В более общем смысле, в n измерениях символ Леви-Чивиты определяется следующим образом: [4]
Таким образом, это знак перестановки в случае перестановки и ноль в противном случае.
Используя прописную букву пи ∏ для обычного умножения чисел, явное выражение для символа:
где функция signum (обозначенная как sgn ) возвращает знак своего аргумента, отбрасывая абсолютное значение, если оно не равно нулю. Формула действительна для всех значений индекса и для любого n (когда n = 0 или n = 1 , это пустой продукт ). Тем не менее, вычисления по формуле выше наивности имеет временную сложность из O ( п 2 ) , в то время как знак может быть вычислен из соотношения перестановки из его циклов непересекающихся в только O ( п журнала ( п )) стоимости.
Свойства [ править ]
Тензор, компоненты которого в ортонормированном базисе задаются символом Леви-Чивиты (тензор ковариантного ранга n ), иногда называют тензором перестановок .
Согласно обычным правилам преобразования для тензоров, символ Леви-Чивиты не изменяется при чистом вращении, что согласуется с тем, что он (по определению) одинаков во всех системах координат, связанных ортогональными преобразованиями. Однако символ Леви-Чивита является псевдотензором потому , что под ортогональным преобразованием из якобиевого определителя -1, например, отражение в нечетном числе измерений, он должен приобрести знак минус , если бы это был тензор. Поскольку он вообще не меняется, символ Леви-Чивиты по определению является псевдотензором.
Поскольку символ Леви-Чивиты является псевдотензором, результатом взятия векторного произведения является псевдовектор , а не вектор. [5]
Под общей заменой координат , компоненты тензора перестановки , умноженная на якобиану из матрицы преобразования . Это означает, что в системе координат, отличной от той, в которой был определен тензор, его компоненты могут отличаться от компонентов символа Леви-Чивита на общий коэффициент. Если рамка ортонормированная, коэффициент будет ± 1 в зависимости от того, одинакова ли ориентация рамки или нет. [5]
В безиндексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется понятием двойственного по Ходжу .
Символы суммирования можно исключить, используя нотацию Эйнштейна , где индекс, повторяющийся между двумя или более членами, указывает суммирование по этому индексу. Например,
.
В следующих примерах используются обозначения Эйнштейна.
Два измерения [ править ]
В двух измерениях, когда все i , j , m , n принимают значения 1 и 2, [3]
( 1 )
( 2 )
( 3 )
Три измерения [ править ]
Значения индексов и символов [ править ]
В трех измерениях, когда все i , j , k , m , n принимают значения 1, 2 и 3: [3]
( 4 )
( 5 )
( 6 )
Продукт [ править ]
Символ Леви-Чивита связан с дельтой Кронекера . В трех измерениях взаимосвязь задается следующими уравнениями (вертикальные линии обозначают определитель): [4]
Частным случаем этого результата является ( 4 ):
иногда называется « сокращенной эпсилон-идентичностью».
В обозначениях Эйнштейна дублирование индекса i подразумевает сумму по i . Тогда предыдущее обозначается ε ijk ε imn = δ jm δ kn - δ jn δ km .
n размеров [ править ]
Значения индексов и символов [ править ]
В n измерениях, когда все i 1 ,…, i n , j 1 , ..., j n принимают значения 1, 2, ..., n :
( 7 )
( 8 )
( 9 )
где восклицательный знак ( ! ) означает факториал , а δα … β …- обобщенная дельта Кронекера . Для любого n свойство
следует из фактов, что
каждая перестановка либо четная, либо нечетная,
(+1) 2 = (−1) 2 = 1 и
количество перестановок любого n -элементного набора равно n ! .
Продукт [ править ]
В общем, для n измерений произведение двух символов Леви-Чивиты можно записать как:
.
Доказательства [ править ]
Для ( 1 ) обе части антисимметричны относительно ij и mn . Поэтому нам нужно рассмотреть только случай i ≠ j и m ≠ n . Подстановкой мы видим, что уравнение выполняется для ε 12 ε 12 , то есть для i = m = 1 и j = n = 2 . (Обе стороны тогда едины). Поскольку уравнение антисимметрично по ij и mn, любой набор значений для них может быть сведен к вышеупомянутому случаю (который верен). Таким образом, уравнение справедливо для всех значений ij и mn .
Используя ( 1 ), для ( 2 ) имеем
Здесь мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании с i, идущим от 1 до 2. Далее ( 3 ) аналогично следует из ( 2 ).
Чтобы установить ( 5 ), заметим, что обе части обращаются в нуль, когда i ≠ j . В самом деле, если i ≠ j , то нельзя выбрать m и n так , чтобы оба символа перестановки слева были ненулевыми. Тогда при фиксированном i = j есть только два способа выбрать m и n из двух оставшихся индексов. Для любых таких индексов имеем
(без суммирования), и результат следует.
Тогда ( 6 ) следует, поскольку 3! = 6 и для любых различных индексов i , j , k, принимающих значения 1, 2, 3 , имеем
(без суммирования, разные i , j , k )
Приложения и примеры [ править ]
Детерминанты [ править ]
В линейной алгебры, то определитель из 3 × 3 квадратной матрицы А = [ IJ ] можно записать [6]
Аналогично определитель матрицы размера n × n A = [ a ij ] можно записать как [5]
где каждое i r следует суммировать по 1,…, n или эквивалентно:
где теперь каждый i r и каждый j r должны быть суммированы по 1,…, n . В более общем смысле мы имеем идентичность [5]
Векторное произведение [ править ]
Основная статья: кросс-продукт
Перекрестное произведение (два вектора) [ править ]
Если a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) и b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) - векторы в ℝ 3 (представленные в некоторой правой системе координат с использованием ортонормированного базиса), их перекрестное произведение может быть записанным как определитель: [5]
отсюда также используется символ Леви-Чивита, а проще говоря:
В системе обозначений Эйнштейна символы суммирования могут быть опущены, и i- я компонента их перекрестного произведения равна [4]
Первый компонент
тогда путем циклической перестановки 1, 2, 3 другие могут быть получены немедленно, без явного вычисления их по приведенным выше формулам:
Тройное скалярное произведение (три вектора) [ править ]
Из приведенного выше выражения для перекрестного произведения имеем:
.
Если c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) - третий вектор, то тройное скалярное произведение равно
Из этого выражения видно, что тройное скалярное произведение антисимметрично при обмене любой парой аргументов. Например,
.
Curl (одно векторное поле) [ править ]
Если F = ( F 1 , F 2 , F 3 ) представляет собой векторное поле , определенное на некотором открытом множестве из ℝ 3 в виде функции от положения х = ( х 1 , х 2 , х 3 ) ( с использованием декартовой системы координат ). Затем я й компонент завитка из F равна [4]
которое следует из выражения кросс-произведения выше, заменяя компоненты оператора вектора градиента (набла).
Плотность тензор [ править ]
В любой произвольной криволинейной системе координат и даже при отсутствии метрики на многообразии символ Леви-Чивиты, как определено выше, может рассматриваться как тензорное поле плотности двумя различными способами. Его можно рассматривать как контравариантную тензорную плотность веса +1 или как ковариантную тензорную плотность веса -1. В n измерениях с использованием обобщенной дельты Кронекера, [7] [8]
Обратите внимание, что они численно идентичны. В частности, знак такой же.
Тензоры Леви-Чивиты [ править ]
На псевдоримановом многообразии можно определить координатно-инвариантное ковариантное тензорное поле, координатное представление которого согласуется с символом Леви-Чивиты везде, где система координат такова, что базис касательного пространства ортонормирован по отношению к метрике и соответствует выбранная ориентация. Этот тензор не следует путать с упомянутым выше тензорным полем плотности. Представление в этом разделе близко следует за Кэрроллом 2004 года .
Ковариантный тензор Леви-Чивиты (также известный как форма риманова объема ) в любой системе координат, которая соответствует выбранной ориентации, имеет вид
где g ab - представление метрики в этой системе координат. Аналогичным образом мы можем рассмотреть контравариантный тензор Леви-Чивиты, подняв индексы с метрикой, как обычно:
но обратите внимание, что если метрическая сигнатура содержит нечетное количество отрицаний q , то знаки компонентов этого тензора отличаются от стандартного символа Леви-Чивиты:
где sgn (det [g ab ]) = (−1) q , - обычный символ Леви-Чивиты, обсуждаемый в оставшейся части этой статьи. Более точно, когда тензор и базисная ориентация выбраны так, что мы имеем это .
Из этого мы можем вывести тождество,
где
- обобщенная дельта Кронекера.
Пример: пространство Минковского [ править ]
В пространстве Минковского (четырехмерный пространственно - временной из специальной теории относительности ), ковариантный тензор Леви-Чивита является
где знак зависит от ориентации основания. Контравариантный тензор Леви-Чивиты имеет вид
Ниже приведены примеры общего тождества выше, специализированного для пространства Минковского (с отрицательным знаком, возникающим из нечетного числа отрицаний в сигнатуре метрического тензора в любом соглашении о знаках):
В проективном пространстве [ править ]
Проективное пространство размерности обычно описывается координатами точки, заданными по модулю произвольного ненулевого общего множителя. В этом случае определяется как +1, если это положительная перестановка , -1, если отрицательная, 0, если любые два (или более) индекса равны. [ необходима цитата ]
Аналогично для двойственного пространства с координатами . Двойственность часто неявна, например, уравнение (с соглашением Эйнштейна о суммировании ) выражает совпадение между точкой и подпространством первого порядка независимо от того , считаются ли они координатами, а коэффициенты as или наоборот. [ необходима цитата ]
См. Также [ править ]
Список тем перестановок
Симметричный тензор
Заметки [ править ]
^ Лабель, P. (2010). Суперсимметрия . Демистифицировано. Макгроу-Хилл. С. 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4.
^ Хадрович, Ф. "Твистор Праймер" . Проверено 3 сентября 2013 .
^ a b c Тилдесли, Дж. Р. (1973). Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников . Лонгман. ISBN 0-582-44355-5.
^ a b c d Кей, Д. К. (1988). Тензорное исчисление . Очертания Шаума. Макгроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6.
^ a b c d e Райли, К. Ф .; Hobson, M. P .; Бенс, С. Дж. (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Lipcshutz, S .; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра . Очертания Шаума (4-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.
^ Мурнаган, Ф. Д. (1925), "Обобщенный символ Кронекера и его приложение к теории определителей", Amer. Математика. В месяц , 32 (5): 233-241, DOI : 10,2307 / 2299191 , JSTOR 2299191
^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Courier Dover Publications. п. 113. ISBN 0-486-65840-6.
Ссылки [ править ]
Уиллер, Дж. А .; Misner, C .; Торн, К. С. (1973). Гравитация . W.H. Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.
Нойеншвандер, Д. Э. (2015). Тензорное исчисление для физики . Издательство Университета Джона Хопкинса. стр. 11, 29, 95. ISBN 978-1-4214-1565-9.
Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия , Аддисон-Уэсли, ISBN 0-8053-8732-3
Внешние ссылки [ править ]
Эта статья включает материал из символа перестановки Леви-Чивита на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Вайсштейн, Эрик В. «Тензор перестановок» . MathWorld .