Неевклидова геометрия

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Область Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадратный Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Область
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В математике , неевклидовой геометрии состоит из двух геометрий на основе аксиом , тесно связанных с теми , которые определяют геометрию Евклида . Поскольку евклидова геометрия находится на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии , неевклидова геометрия возникает либо путем ослабления требования метрики, либо путем замены постулата параллельности альтернативой. В последнем случае получается гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия , традиционные неевклидовы геометрии. Когда требование метрики ослаблено, с планарными алгебрами связаны аффинные плоскости., которые порождают кинематические геометрии , которые также называются неевклидовой геометрией.

Существенное различие между метрическими геометриями - природа параллельных линий. Пятый постулат Евклида , постулат параллельности , эквивалентен постулату Плейфэра , который утверждает, что в двухмерной плоскости для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , есть ровно одна прямая, проходящая через A который не пересекает l . В гиперболической геометрии, напротив, существует бесконечно много прямых, проходящих через A, не пересекающих l , в то время как в эллиптической геометрии любая прямая, проходящая через A, пересекаетл .

Другой способ описать различия между этими геометриями - рассмотреть две прямые линии, неограниченно вытянутые в двумерной плоскости, которые обе перпендикулярны третьей линии (в той же плоскости):

• В евклидовой геометрии линии остаются на постоянном расстоянии друг от друга (это означает, что линия, проведенная перпендикулярно одной линии в любой точке, будет пересекать другую линию, а длина отрезка линии, соединяющего точки пересечения, остается постоянной) и известны. как параллели.
• В гиперболической геометрии они «изгибаются» друг от друга, увеличиваясь по мере удаления от точек пересечения с общим перпендикуляром; эти линии часто называют ультрапараллелями .
• В эллиптической геометрии линии «изгибаются» друг к другу и пересекаются.

История [ править ]

Фон [ править ]

Евклидова геометрия , названная в честь греческого математика Евклида , включает в себя некоторые из старейших известных математиков, и геометрии, отклоняющиеся от нее, не были широко признаны законными до 19 века.

Споры, которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовой геометрии, начались почти сразу после того, как Евклид написал « Элементы» . В « Элементах» Евклид начинает с ограниченного числа предположений (23 определения, пять общих понятий и пять постулатов) и пытается доказать все остальные результаты ( предложения ) в своей работе. Самый известный из постулатов часто называют «Пятым постулатом Евклида» или просто параллельным постулатом , который в первоначальной формулировке Евклида звучит так:

Если прямая линия попадает на две прямые таким образом, что внутренние углы на одной стороне вместе меньше двух прямых углов, тогда прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше, чем два прямых угла.

Другие математики придумали более простые формы этого свойства. Однако, независимо от формы постулата, он постоянно кажется более сложным, чем другие постулаты Евклида :

1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.

2. Построить [удлинить] конечную прямую непрерывно в прямую линию.

3. Описать круг с любым центром и расстоянием [радиусом].

4. Все прямые углы равны друг другу.

По крайней мере, тысячу лет геометров беспокоила несопоставимая сложность пятого постулата, и они считали, что его можно доказать в виде теоремы из четырех других. Многие пытались найти доказательства с помощью противоречий , в том числе Ибн аль-Хайтам (Альхазен, 11 век), ^[1] Омар Хайям (12 век), Насир ад-Дин ат-Туси (13 век) и Джованни Джироламо Саккери (18 век). ).

Теоремы Ибн аль-Хайтам, Хайяма и аль-Туси на четырехугольников , в том числе Lambert четырехугольник и Саккери четырехугольник , были «первые теоремы о гиперболических и эллиптических геометрии ». Эти теоремы вместе с их альтернативными постулатами, такими как аксиома Плейфэра , сыграли важную роль в более позднем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело , Леви бен Герсона , Альфонсо , Джона Уоллиса и Саккери.^[2] Все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию, однако, предоставили ошибочные доказательства параллельного постулата, содержащие предположения, которые были по существу эквивалентны параллельному постулату. Однако эти ранние попытки обеспечили некоторые ранние свойства гиперболической и эллиптической геометрий.

Хайям, например, пытался вывести это из эквивалентного постулата, который он сформулировал из «принципов философа» ( Аристотель ): « Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в том направлении, в котором они сходится. " ^[3]Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них, он правильно опроверг тупые и острые случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида, что он не осознавал, было эквивалентно его собственному постулату. Другой пример - сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), который написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой была представлена ​​другая гипотеза, эквивалентная параллельному постулату. . «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих утверждений из Элементов ».^{[4] [5]} Его работа была опубликована в Риме.в 1594 г. и изучалась европейскими геометрами, в том числе Саккери ^[4], которые критиковали эту работу, а также работу Уоллиса. ^[6]

Джордано Витале в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.

В работе под названием Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Евклид, свободный от всех недостатков ), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отверг эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и принялся за работу, доказывая, что большое количество результатов по гиперболической геометрии.

В конце концов он достиг точки, когда он считал, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, по-видимому, было основано на предположениях Евклида, поскольку не было логического противоречия. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не реализовал ее.

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал « Theorie der Parallellinien», в которой он, как и Саккери, попытался доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, теперь известной как четырехугольник Ламберта., четырехугольник с тремя прямыми углами (можно рассматривать как половину четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не продвигал эту идею дальше. ^[7]

В то время было широко распространено мнение, что Вселенная работает в соответствии с принципами евклидовой геометрии. ^[8]

Открытие неевклидовой геометрии [ править ]

В начале XIX века, наконец, будут сделаны решающие шаги в создании неевклидовой геометрии. Примерно в 1813 году Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт ^[9] разработали зародышевые идеи неевклидовой геометрии, но ни один из них не опубликовал никаких результатов. Племянник Швейкарта, Франц Тауринус , опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, однако, признавая внутреннюю непротиворечивость гиперболической геометрии, он все же верил в особую роль евклидовой геометрии. ^[10]

Затем, в 1829–1830 годах русский математик Николай Иванович Лобачевский и в 1832 году венгерский математик Янош Бойяи отдельно и независимо друг от друга опубликовали трактаты по гиперболической геометрии. Следовательно, гиперболическая геометрия называется геометрией Лобачевского или геометрией Бояи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бояи, когда ему показали работу младшего Бойая, что он разработал такую ​​геометрию за несколько лет до этого ^[11].правда он не публиковал. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бойяи разработал геометрию, в которой возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия в зависимости от параметра  k . Бойяи завершает свою работу упоминанием о том, что невозможно решить с помощью одних только математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук.

Бернхард Риман в своей знаменитой лекции 1854 года основал область римановой геометрии , обсуждая, в частности, идеи, которые сейчас называются многообразиями , римановой метрикой и кривизной . Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, указав формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в евклидовом пространстве . Самая простая из них называется эллиптической геометрией и считается неевклидовой геометрией из-за отсутствия параллельных линий. ^[12]

Сформулировав геометрию в терминах тензора кривизны , Риман позволил неевклидовой геометрии применяться к более высоким измерениям. Бельтрами (1868) был первым, кто применил геометрию Римана к пространствам отрицательной кривизны.

Терминология [ править ]

Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». ^[13] Он имел в виду свою собственную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией . Некоторые современные авторы до сих пор считают неевклидову геометрию и гиперболическую геометрию синонимами.

Артур Кэли заметил, что расстояние между точками внутри коники можно определить с помощью логарифма и проективной функции поперечного отношения . Этот метод стал называться метрикой Кэли – Клейна, потому что Феликс Клейн использовал его для описания неевклидовой геометрии в статьях ^[14] 1871 и 1873 годов, а затем и в книжной форме. Метрики Кэли – Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрической геометрии, а также евклидовой геометрии.

Кляйн отвечает за термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он назвал евклидову геометрию параболической - термин, который обычно выходил из употребления ^[15] ). Его влияние привело к нынешнему использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения либо «гиперболической», либо «эллиптической» геометрии.

Есть математики, которые по-разному расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовой». ^[16]

Аксиоматическая основа неевклидовой геометрии [ править ]

Евклидова геометрия может быть описана аксиоматически несколькими способами. К сожалению, первоначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, так как его доказательства опирались на несколько неустановленных предположений, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом ^[17], наиболее точно следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида, постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Playfair, а Биркгоф, например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара похожих, но не совпадающих треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, дает абсолютную геометрию . Поскольку первые 28 утверждений Евклида (в «Элементах» ) не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии. ^[18]

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Playfair , поскольку это составное утверждение (... существует один и только один ...), можно сделать двумя способами:

• Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет никаких прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменяя постулат параллельности (или его эквивалент) утверждением «В плоскости, если дана точка P и прямая l, не проходящая через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с l » и сохраняя все остальные аксиомы дают гиперболическую геометрию . ^[19]
• Со вторым случаем справиться не так просто. Простая замена постулата параллельности утверждением: «В плоскости, если дана точка P и прямая l, не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются с l », не дает согласованного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, ^[20]но это утверждение говорит, что нет параллельных линий. Эта проблема была известна (в ином виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отказа от так называемого «случая тупого угла». Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти изменения имеют эффект модификации второго постулата Евклида от утверждения, что отрезки линии могут быть неограниченно продолжены, до утверждения, что линии не ограничены. Римана «с эллиптической геометрией возникает как наиболее естественной геометрии , удовлетворяющей эту аксиому.

Модели неевклидовой геометрии [ править ]

Двумерная евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоская плоскость ».

Эллиптическая геометрия [ править ]

Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (например, экватор или меридианы на глобусе ), а точки, противоположные друг другу (называемые точками противоположностей ), идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости . Разница в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в качестве модели проективной плоскости такой метрики нет.

В эллиптической модели для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , все прямые, проходящие через A, будут пересекать l .

Гиперболическая геометрия [ править ]

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бояи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». На модель гиперболической геометрии ответил Эудженио Бельтрами в 1868 году, который впервые показал, что поверхность, называемая псевдосферой, имеет соответствующую кривизну для моделирования части гиперболического пространства, а во второй статье того же года определил модель Клейна , которая моделирует все гиперболическое пространство и использовал это, чтобы показать, что евклидова геометрия и гиперболическая геометрия были равносогласованы, так что гиперболическая геометрия была логически непротиворечивойтогда и только тогда, когда была евклидова геометрия. (Обратное утверждение следует из модели ориосферы евклидовой геометрии.)

В гиперболической модели внутри двумерной плоскости для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , существует бесконечно много прямых, проходящих через A, которые не пересекаются с l .

В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это приводит к искажению восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь искусственным способом их представления.

Трехмерная неевклидова геометрия [ править ]

В трех измерениях существует восемь геометрических моделей. ^[21] Есть евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как в двумерном случае; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; витые варианты смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).

Необычные свойства [ править ]

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизма. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией ). Однако исторически наибольшее внимание уделялось свойствам, которые отличают одну геометрию от других.

Помимо поведения линий относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы также имеем следующее:

• Ламберт четырехугольник является четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта острый, если геометрия гиперболическая, прямой угол, если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
• Саккрайте четырехугольник является четырехугольник с двух сторон равной длиной, и перпендикулярно к стороне называется база . Два других угла четырехугольника Саккери называются верхними углами, и они имеют одинаковую меру. Вершины четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
• Сумма углов любого треугольника меньше 180 °, если геометрия гиперболическая, равна 180 °, если геометрия евклидова, и больше 180 °, если геометрия эллиптическая. Дефект треугольника это числовое значение (180 ° - сумма мер углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положительный, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицателен.

Важность [ править ]

Перед тем была представлена Бельтрами, Клейном и Пуанкаром в модели неевклидовой плоскости, геометрия Евклида стояла неоспоримую как математическая модель в пространстве . Более того, поскольку суть предмета в синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за рамки математики и естественных наук. Отношение философа Иммануила Канта к человеческому знанию сыграло особую роль в геометрии. Это был его главный пример синтетического априорного знания; не выводится из органов чувств и не выводится с помощью логики - наше знание пространства было истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция этой неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика соотносится с окружающим миром, что явилось результатом этой смены парадигмы. ^[22]

Неевклидова геометрия является примером научной революции в истории науки , когда математики и ученые изменили свой взгляд на свои предметы. ^[23] Некоторые геометры называли Лобачевского « Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ. ^{[24] [25]}

Существование неевклидовой геометрии во многом повлияло на интеллектуальную жизнь виклидской Англии ^[26] и, в частности, было одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии, основанного на Элементах Евклида . В то время этот вопрос об учебной программе горячо обсуждался и даже стал предметом книги « Евклид и его современные соперники» , написанной Чарльзом Латвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл , автором « Алисы в стране чудес» .

Планарные алгебры [ править ]

В аналитической геометрии плоскость описывается декартовыми координатами  : С = {( х, у ): х , у ∈ ℝ}. Эти точки иногда идентифицированы с комплексными числами г = х + у е , где ε ² ∈ {-1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε ² = −1, поскольку модуль z определяется выражением

${\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ epsilon) (xy \ epsilon) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

и эта величина является квадратом евклидова расстояния между z и началом координат. Например, { z | zz * = 1} - единичный круг .

Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. Когда ε ² = +1 , тогда z является комплексным числом с разбиением и обычно j заменяет эпсилон. потом

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!}$

и { z | zz * = 1} - единичная гипербола .

Когда ε ² = 0 , то z - двойственное число . ^[27]

Такой подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в плоскости двойных чисел и гиперболический угол в плоскости расщепленного комплекса соответствуют углу в евклидовой геометрии. В самом деле, каждое из них возникает в полярном разложении комплексного числа z . ^[28]

Кинематическая геометрия [ править ]

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с помощью физической космологии, введенной Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время, в математическую физику . Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем можно рассматривать как гиперболическое пространство трех измерений. ^{[29] [30]} Еще в 1890-х годах Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие с помощью своей алгебры физики и гиперболических кватернионов., хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, расщепленное комплексное число z = e ^{a j} может представлять пространственно-временное событие в один момент в будущем в системе отсчета с быстротой a . Кроме того, умножение на z равносильно преобразованию лоренцевского буста кадра с нулевой скоростью в кадр с быстротой а .

Кинематическое исследование использует двойственные числа для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения эквивалентны отображению сдвига в линейной алгебре:${\displaystyle z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$${\displaystyle x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.}$

С двойными числами отображение ^[31]${\displaystyle t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .}$

Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был предложен Э.Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в Трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переработали аналитическую геометрию, заложенную в алгебре расщепленных комплексных чисел, в синтетическую геометрию предпосылок. и отчисления. ^{[32] [33]}

Художественная литература [ править ]

Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .

• В 1895 году Герберт Уэллс опубликовал рассказ «Замечательная история глаз Дэвидсона» . Чтобы оценить эту историю, нужно знать, как идентифицируются противоположные точки на сфере в модели эллиптической плоскости. По сюжету посреди грозы Сидни Дэвидсон видит «Волны и удивительно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории в Техническом колледже Харлоу. В конце истории Дэвидсон оказывается свидетелем HMS Fulmar у острова Антиподы .
• Неевклидова геометрия иногда связана с влиянием писателя ужасов ХХ века Л. П. Лавкрафта . В его работах многие неестественные вещи следуют своим собственным уникальным законам геометрии: в « Мифах о Ктулху» Лавкрафта затонувший город Р'льех характеризуется неевклидовой геометрией. В значительной степени подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку ее явная врожденная неправильность, как говорят, способна свести с ума тех, кто смотрит на нее. ^[34]
• Главный герой романа Роберта Пирсига « Дзен и искусство ухода за мотоциклами» неоднократно упоминал риманову геометрию.
• В «Братьях Карамазовых» Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана.
• Роман Кристофера Приста « Перевернутый мир» описывает борьбу жизни на планете с формой вращающейся псевдосферы .
• Роберт Хайнлайн « Число зверя» использует неевклидову геометрию для объяснения мгновенного переноса в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• HyperRogue от Zeno Rogue - это игра в жанре рогалик, действие которой разворачивается на гиперболической плоскости , позволяя игроку испытать многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии. ^[35]
• В Renegade Legion научной фантастики настройки для ФАЗА «s Wargame , ролевые игры-игры и вымысла, быстрее чем свет путешествия и связи возможно за счет использования Се Хо Polydimensional неевклидовой геометрии, опубликованной когда - то в середине 22 век.
• В « Флаттерленде» Яна Стюарта главный герой Виктория Лайн посещает самые разные неевклидовы миры.

См. Также [ править ]

• Гиперболическое пространство
• Ленарт сфера
• Проективная геометрия
• Рост неевклидовой поверхности

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанас , (2012) Заметки о гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, Vol. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI: 10.4171 / 105 . 
• Андерсон, Джеймс В. Гиперболическая геометрия , второе издание, Springer, 2005 г.
• Бельтрами, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante , Аннали. ди Мат., серия II 2 (1868), 232–255
• Блюменталь, Леонард М. (1980), Современный взгляд на геометрию , Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-63962-2
• Кэрролл, Льюис Евклид и его современные соперники , Нью-Йорк: Барнс и Ноубл, 2009 (перепечатка) ISBN 978-1-4351-2348-9 
• HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , University of Toronto Press , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN 0-88385-522-4 . 
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
• Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидово, неевклидово и релятивистское , 2-е издание, Clarendon Press .
• Гринберг, Марвин Джей Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история , 4-е изд., Нью-Йорк: WH Freeman, 2007. ISBN 0-7167-9948-0 
• Моррис Клайн (1972) Математическая мысль от древних до наших дней, глава 36, Неевклидова геометрия, стр. 861–81, Oxford University Press .
• Бернард Х. Лавенда , (2012) «Новый взгляд на теорию относительности: одиссея в неевклидовой геометрии», World Scientific , стр. 696, ISBN 9789814340489 . 
• Николай Лобачевский (2010) Пангеометрия , Переводчик и редактор: А. Пападопулос, Серия «Наследие европейской математики», Том. 4, Европейское математическое общество .
• Мэннинг, Генри Паркер (1963), Введение в неевклидову геометрию , Нью-Йорк: Дувр
• Мешковский, Герберт (1964), Невклидова геометрия , Нью-Йорк: Academic Press
• Милнор, Джон В. (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. Амер. Математика. Soc. (NS) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии , Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.) , Pacific Grove: Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Стюарт, Ян (2001) Флаттерленд , Нью-Йорк: ISBN издательства Perseus 0-7382-0675-X ( мягкая обложка ) 
• Джон Стиллвелл (1996) Источники гиперболической геометрии , ISBN Американского математического общества 0-8218-0529-0 . 
• Трюдо, Ричард Дж. (1987), Неевклидова революция , Бостон: Birkhauser, ISBN 0-8176-3311-1
• A. Papadopoulos et Guillaume Théret (2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert , (Критическое издание мемуаров Ламбера с французским переводом, с историческими и математическими примечаниями и комментариями - изд. Blanchard, Coll. Sciences dans l'Histoire, Paris ISBN 978-2-85367-266-5 

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с неевклидовой геометрией на Викискладе?

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Неевклидовой геометрией

• Роберто Бонола (1912) Неевклидова геометрия , Открытый суд, Чикаго.
• Архивная статья MacTutor о неевклидовой геометрии
• Неевклидова геометрия в PlanetMath .
• Неевклидовы геометрии из энциклопедии Math из Европейского математического общества и Springer Science + Business Media
• Синтетическое пространство-время , сборник использованных аксиом и доказанных теорем Уилсоном и Льюисом. Архивировано WebCite .