В теоретической физике отображение Жордана , часто также называемое отображением Жордана – Швингера, представляет собой отображение матриц M ij на билинейные выражения квантовых осцилляторов, которое ускоряет вычисление представлений алгебр Ли, встречающихся в физике. Он был введен Паскуаль Иордан в 1935 году [1] и был использован Julian Швингером [2] в 1952 году повторно работу из теории квантового кинетического момента эффективно, учитывая , что легкость МАП от организации (симметричных) представлений о су (2 ) в пространстве Фока .
Карта использует несколько операторов создания и уничтожения. а также рутинного использования в квантовых теориях поля и задачах многих тел , где каждая пара представляет собой квантовый гармонический осциллятор . Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в мультибозонной системе:
где является коммутатор и- дельта Кронекера .
Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,
- ,
на единицу, как и для многомерных квантовых гармонических осцилляторов .
Отображение Жордана из набора матриц M ij в билинейные операторы пространства Фока M ,
явно алгебра Ли изоморфизм, то операторы М удовлетворяют тем же коммутационные соотношения матриц М .
Пример углового момента
Например, изображение матриц Паули для SU (2) на этом отображении,
для двухвектора a † s и a s удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям SU (2), причем, опираясь на соотношение полноты для матриц Паули ,
Это отправная точка трактовки Швингером теории квантового углового момента, основанной на действии этих операторов на фоковские состояния, построенные из произвольных высших степеней таких операторов. Например, действуя на (ненормализованное) собственное состояние Фока,
пока
так что для j = ( k + n ) / 2, m = ( k − n ) / 2 это пропорционально собственному состоянию | j, m〉 , [3]
Наблюдать а также , также как и .
Фермионы
Антисимметричные представления алгебр Ли могут быть дополнительно адаптированы с помощью фермионных операторов а также , как также предположил Джордан. Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором ,
Следовательно, замена непересекающихся (т.е. ) операторы в продукте создания операторов уничтожения будут менять знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Джордан, Паскуаль (1935). "Der Zusammenhang der symrischen und linearen Gruppen und das Mehrkörperproblem", Zeitschrift für Physik 94 , Issue 7-8, 531-535
- ^ Швингер, Дж. (1952). «On Angular Momentum» , неопубликованный отчет, Гарвардский университет, Nuclear Development Associates, Inc., Министерство энергетики США (через предшествующее агентство - Комиссию по атомной энергии ), номер отчета NYO-3071 (26 января 1952 г.).
- ^ Сакураи, Дж. Дж. И Наполитано, Дж. Дж. (2010), Современная квантовая механика , Pearson ISBN 978-0805382914 .