Матрица Картана

В математике термин « матрица Картана» имеет три значения. Все они названы в честь французского математика Эли Картана . Забавно, что матрицы Картана в контексте алгебр Ли были впервые исследованы Вильгельмом Киллингом , тогда как форма Киллинга принадлежит Картану. ^{[ необходима цитата ]}

Алгебры Ли [ править ]

Обобщенная матрица Картана является квадратная матрица с целыми записями таких , что ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

Для диагональных входов . ${\ displaystyle a_ {ii} = 2}$
Для недиагональных записей . ${\ displaystyle a_ {ij} \ leq 0}$
${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ если и только если ${\ displaystyle a_ {ji} = 0}$
${\ displaystyle A}$ можно записать как , где - диагональная матрица , а - симметричная матрица . ${\ displaystyle DS}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle S}$

Например, матрица Картана для G 2 может быть разложена как таковая:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & -3 \\ - 1 & 2 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {2 } {3}} & - 1 \\ - 1 & 2 \ end {bmatrix}}.}

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в приведенном выше разложении положительно определена , то A называется матрицей Картана .

Матрица Картана простой алгебры Ли - это матрица, элементами которой являются скалярные произведения

{\ displaystyle a_ {ji} = 2 {(r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {j}, r_ {j})}}

^[1]

(иногда называемые целыми числами Картана ), где r _i - простые корни алгебры. Элементы являются неотъемлемой частью одного из свойств корней . Первое условие следует из определения, второе - из того факта, что for - это корень, который представляет собой линейную комбинацию простых корней r _i и r _j с положительным коэффициентом для r _j, поэтому коэффициент для r _i должен быть неотрицательный. Третий верен, потому что ортогональность - это симметричное отношение. И на последок пусть и ${\ displaystyle i \ neq j, r_ {j} - {2 (r_ {i}, r_ {j}) \ over (r_ {i}, r_ {i})} r_ {i}}$ ${\ displaystyle D_ {ij} = {\ delta _ {ij} \ over (r_ {i}, r_ {i})}}$ ${\ Displaystyle S_ {ij} = 2 (r_ {i}, r_ {j})}$ . Поскольку простые корни охватывают евклидово пространство , S положительно определена.

Наоборот, по обобщенной матрице Картана можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. (Подробнее см. Алгебру Каца – Муди ).

Классификация [ править ]

Матрица является разложимым , если существует непустое собственное подмножество такое , что всякий раз , когда и . Является неразложимым , если он не разложит. $n\times n$ $I\subset \{1,\dots ,n\}$ $a_{ij}=0$ $i\in I$ $j\notin I$

Пусть A - неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все его главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если его собственные главные миноры положительны и A имеет определитель 0, и что A имеет неопределенный тип в противном случае.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов ), а неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0). $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$

Определители матриц Картана простых алгебр Ли [ править ]

Определители матриц Картана простых алгебр Ли приведены в следующей таблице (наряду с A ₁ = B ₁ = C ₁ , B ₂ = C ₂ , D ₃ = A ₃ , D ₂ = A ₁ A ₁ , E ₅ = D ₅ , E ₄ = A ₄ и E ₃ = A ₂ A ₁ ) ^[2]

А _п	B _n	C _n	D _n n ≥ 3	E _n 3 ≤ n ≤ 8	П ₄	G ₂
п + 1	2	2	4	9 - н	1	1

Другое свойство этого определителя состоит в том, что он равен индексу соответствующей корневой системы, то есть равен где $P, Q$ обозначают решетку весов и решетку корней, соответственно. $|P/Q|$

Представления конечномерных алгебр [ править ]

В теории модульных представлений и, в более общем смысле, в теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр A , которые не являются полупростыми , матрица Картана определяется путем рассмотрения (конечного) множества главных неразложимых модулей и записи композиционных рядов для них в терминах неприводимые модули , дающие матрицу целых чисел, подсчитывающую количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в М-теории [ править ]

В M-теории можно рассматривать геометрию с двумя циклами, которые пересекаются друг с другом в конечном числе точек, в пределе, когда площадь двух циклов обращается в ноль. В этом пределе появляется локальная группа симметрии . Предполагается, что матрица чисел пересечения базиса двух циклов является матрицей Картана алгебры Ли этой локальной группы симметрий. ^[3]

Это можно объяснить следующим образом. В M-теории есть солитоны, которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембранами или 2-бранами . 2-брана имеет натяжение и, следовательно, имеет тенденцию к сжатию, но она может обернуться вокруг двух циклов, что не позволяет ей сжаться до нуля.

Можно компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двух циклов и их точек пересечения, а затем принять предел, при котором это измерение сжимается до нуля, таким образом получая размерное уменьшение по сравнению с этим измерением. Затем мы получаем теорию струн типа IIA как предел M-теории, с двумя бранами, охватывающими два цикла, которые теперь описываются открытой струной, натянутой между D-бранами . Для каждой D-браны существует локальная группа симметрии U (1) , напоминающая степень свободы ее перемещения без изменения ее ориентации. Предел, при котором два цикла имеют нулевую площадь, является пределом, когда эти D-браны находятся друг над другом, так что получается улучшенная локальная группа симметрии.

Итак, открытая струна, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатор двух таких генераторов - это третий, представленный открытой строкой, которую получают путем склеивания ребер двух открытых строк. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от того, каким образом 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть от числа пересечений двух циклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечений. Точная связь с матрицей Картана заключается в том, что последняя описывает коммутаторы простых корней , которые связаны с двумя циклами в выбранном базисе.

Генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и самой собой.

См. Также [ править ]

Диаграмма Дынкина
Исключительная йорданова алгебра
Фундаментальное представление
Форма убийства
Простая группа Ли

Заметки [ править ]

^ Джорджи, Ховард (1999-10-22). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press. п. 115. ISBN 0-7382-0233-9.
^ Определители Картана-Грама для простых групп Ли Alfred CT Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, ноябрь 1982 г.
^ Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенных калибровочных симметриях в M- и теории струн». Журнал физики высоких энергий . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th / 9707123 . DOI : 10.1088 / 1126-6708 / 1997/09/001 . S2CID 15444381 .

Ссылки [ править ]

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: Первый курс . Тексты для выпускников по математике . 129 . Springer-Verlag. п. 334. ISBN 0-387-97495-4. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для выпускников по математике . 9 . Springer-Verlag. С. 55–56. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-6398-2 . ISBN 0-387-90052-7.
Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6..

Внешние ссылки [ править ]

"Матрица Картана" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Картана» . MathWorld .

[1] Джорджи, Ховард (1999-10-22). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Westview Press. п. 115. ISBN 0-7382-0233-9.

[2] Определители Картана-Грама для простых групп Ли Alfred CT Wu, J. Math. Phys. Vol. 23, No. 11, ноябрь 1982 г.

[3] Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенных калибровочных симметриях в M- и теории струн». Журнал физики высоких энергий . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th / 9707123 . DOI : 10.1088 / 1126-6708 / 1997/09/001 . S2CID 15444381 .