В математике , особенно в функциональном анализе , каждый ограниченный линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве имеет соответствующий эрмитов сопряженный (или сопряженный оператор ). Сопряженные операторы обобщают сопряженные Транспонирует из квадратных матриц в (возможно) бесконечномерным ситуации. Если рассматривать операторы в комплексном гильбертовом пространстве как обобщенные комплексные числа, то сопряженный к оператору играет роль комплексно сопряженного комплексного числа.
В аналогичном смысле можно определить сопряженный оператор для линейных (и, возможно, неограниченных) операторов между банаховыми пространствами .
Сопряженный оператора А может быть также называется эрмитово сопряжение, эрмитова или эрмитову транспонированную [1] (после того, как Эрмит ) из А и обозначается через A * или A † (последний особенно при использовании в сочетании с бюстгальтером-кет обозначение ). Смешения, * также могут быть использованы для представления конъюгата A .
Неформальное определение
Рассмотрим линейный оператор между гильбертовыми пространствами . Не вдаваясь в подробности, сопряженный оператор является (в большинстве случаев однозначно определенным) линейным оператором выполнение
где является скалярным произведением в гильбертовом пространстве, которая линейна по первой координате и антилинейна по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и является оператором в этом гильбертовом пространстве.
Когда кто-то обменивает двойную пару на внутренний продукт, можно определить сопряженное, также называемое транспонированием , оператора, где являются банаховыми пространствами с соответствующими нормами . Здесь (опять же без учета технических деталей) сопряженный оператор определяется как с участием
Т.е., для .
Обратите внимание, что приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто приложением случая банахова пространства, когда гильбертово пространство отождествляется с двойственным ему. Тогда вполне естественно, что можно получить и сопряженный к оператору, где является гильбертовым пространством и является банаховым пространством. Тогда двойственный определяется как с участием такой, что
Определение неограниченных операторов между нормированными пространствами
Позволять - банаховы пространства . Предполагать а также , и предположим, что является (возможно, неограниченным) линейным оператором, который плотно определен (т. е. плотно в ). Тогда его сопряженный операторопределяется следующим образом. Домен
- .
Теперь для произвольных, но фиксированных мы установили с участием . По выбору и определение , f (равномерно) непрерывна на в виде . Тогда по теореме Хана – Банаха или, альтернативно, посредством продолжения по непрерывности это дает расширение, называется определены на всех . Обратите внимание, что эта техническая часть необходима, чтобы позже получить как оператор вместо Отметим также, что это не означает, что может быть расширен на все но расширение работало только для определенных элементов .
Теперь мы можем определить сопряженный к в виде
Таким образом, основная определяющая идентичность
- для
Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами
Предположим, H - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением . Рассмотрим непрерывный линейный оператор A : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченному оператору ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ∗ : H → H, удовлетворяющий
Существование и единственность этого оператора следует из теоремы Рисса о представлении . [2]
Это можно рассматривать как обобщение сопряженной матрицы квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, связанное со стандартным комплексным внутренним произведением.
Характеристики
Следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора очевидны: [2]
- Инволютивность : A ∗∗ = A
- Если A обратимо, то обратимо и A ∗ , причем
- Антилинейность :
- ( А + В ) * = А * + В *
- ( ХА ) * = λ A * , где λ обозначает комплексное сопряжение из комплексного числа Л
- « Антидистрибутивность »: ( AB ) ∗ = B ∗ A ∗
Если мы определим оператор норму в А по
тогда
Более того,
Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшее значение», экстраполируя из случая самосопряженных операторов.
Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве H вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип C * -алгебры .
Сопряжение плотно определенных неограниченных операторов между гильбертовыми пространствами
Плотно определенный оператор из комплексного гильбертова пространства Н в себя линейный оператор, область D ( ) является плотным линейным подпространством из H и значение которого лежит в H . [3] По определению область определения D ( A ∗ ) сопряженного к нему A ∗ - это множество всех y ∈ H, для которых существует z ∈ H, удовлетворяющий
а A ∗ ( y ) определяется как найденный таким образом z . [4]
Свойства 1. – 5. с соответствующими пунктами о доменах и кодоменах . [ требуется пояснение ] Например, последнее свойство теперь утверждает, что ( AB ) ∗ является расширением B ∗ A ∗, если A , B и AB - плотно определенные операторы. [5]
Связь между образом A и ядром его сопряженного определяется выражением:
Эти утверждения эквивалентны. См. Ортогональное дополнение для доказательства этого и определения.
Доказательство первого уравнения: [6] [ требуется пояснение ]
Второе уравнение следует из первого за счет ортогонального дополнения с обеих сторон. Обратите внимание, что в общем случае изображение не обязательно должно быть замкнутым, но всегда является ядро непрерывного оператора [7] . [ требуется разъяснение ]
Эрмитовы операторы
Ограниченный оператор : Н → Н называется эрмитова или самосопряженным , если
что эквивалентно
- [8]
В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (равных их собственному «комплексно сопряженному») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью действительных наблюдаемых в квантовой механике . См. Статью о самосопряженных операторах для полного описания.
Сопряжения антилинейных операторов
Для антилинейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженный оператор антилинейного оператора A в комплексном гильбертовом пространстве H - это антилинейный оператор A ∗ : H → H со свойством:
Другие прилегающие
Уравнение
формально аналогичен определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и отсюда присоединенные функторы получили свое название.
Смотрите также
- Математические понятия
- Эрмитов оператор
- Норма (математика)
- Транспонировать линейные карты
- Физические приложения
- Оператор (физика)
- †-алгебра
Рекомендации
- ^ Миллер, Дэвид AB (2008). Квантовая механика для ученых и инженеров . Издательство Кембриджского университета. С. 262, 280.
- ^ a b c d Рид и Саймон 2003 , стр. 186–187; Рудин 1991 , §12.9
- ^ См. Подробности в неограниченном операторе .
- ^ Рид и Саймон 2003 , стр. 252; Рудин 1991 , §13.1
- ^ Рудин 1991 , Thm 13.2
- ^ См. Рудин 1991 , Теорема 12.10 для случая ограниченных операторов.
- ^ То же, что и ограниченный оператор.
- ^ Рид и Саймон 2003 , стр 187; Рудин 1991 , §12.11
- Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными (первое издание), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .