Операторы создания и уничтожения - это математические операторы, которые имеют широкое применение в квантовой механике , особенно в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц. [1] Оператор уничтожения (обычно обозначается) снижает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор создания (обычно обозначается) увеличивает количество частиц в данном состоянии на единицу и является сопряженным к оператору уничтожения. Во многих областях физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как вторичное квантование .
Операторы создания и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут относиться конкретно к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора . В последнем случае оператор повышения интерпретируется как оператор создания, добавляющий квант энергии к системе осциллятора (аналогично для оператора понижения). Их можно использовать для обозначения фононов .
Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора
В контексте квантового гармонического осциллятора можно переосмыслить лестничные операторы как операторы создания и уничтожения, добавляя или вычитая фиксированные кванты энергии в систему осциллятора.
Операторы а также можно противопоставить нормальным операторам , которые коммутируют со своими сопряженными. [4]
Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона можно выразить как
Можно вычислить коммутационные соотношения между а также операторы и гамильтониан: [5]
Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.
При условии, что является собственным состоянием гамильтониана . Используя эти коммутационные соотношения, следует, что [5]
Это показывает, что а также также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями а также соответственно. Это идентифицирует операторов а также как «понижающие» и «повышающие» операторы между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна.
Основное состояние можно найти, если предположить, что опускающий оператор имеет нетривиальное ядро: с участием . Применяя гамильтониан к основному состоянию,
Так является собственной функцией гамильтониана.
Это дает энергию основного состояния , что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния как [5]
Кроме того, оказывается, что первый упомянутый оператор в (*), числовой оператор играет самую важную роль в приложениях, а вторая, можно просто заменить на .
Записанная как дифференциальное уравнение, волновая функция удовлетворяет
с решением
Константа нормировки C оказывается равной из , используя гауссовский интеграл . Явные формулы для всех собственных функций теперь могут быть найдены повторным применением к . [6]
Матричное представление
Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид
Их можно получить с помощью соотношений а также . Собственные векторы являются таковыми из квантового гармонического осциллятора и иногда называются «числовым базисом».
Обобщенные операторы создания и уничтожения
Выведенные выше операторы на самом деле являются конкретным примером более обобщенного понятия операторов создания и уничтожения. Более абстрактная форма операторов строится следующим образом. Позволятьбыть одночастичным гильбертовым пространством (то есть любым гильбертовым пространством, рассматриваемым как представляющее состояние отдельной частицы).
( Бозонная ) алгебра ККС надявляется алгеброй с оператором сопряжения (называемым * ), абстрактно порожденным элементами, где свободно колеблется над , при условии отношений
Карта из для бозонной CCR алгебры требуется, чтобы она была сложной антилинейной (это добавляет больше связей). Его сопряженный является, и карта это комплексное линейное в H . Таким образомвкладывается как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент будет реализован как оператор аннигиляции, а в качестве оператора создания.
В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C * -алгеброй . Алгебра CCR надтесно связана с алгеброй Вейля , но не тождественна ей .
Для фермионов (фермионная) алгебра CAR надстроится аналогично, но с использованием вместо этого антикоммутаторных соотношений, а именно
Алгебра CAR конечномерна, только если конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станеталгебра. Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей .
Говоря физически, удаляет (т.е. уничтожает) частицу в состоянии тогда как создает частицу в состоянии .
Состояние вакуума свободного поля - это состояние | 0 без частиц, характеризуется
Если нормализовано так, чтобы , тогда дает количество частиц в состоянии .
Операторы рождения и уничтожения для уравнений реакции-диффузии
Описание операторов аннигиляции и рождения также было полезно для анализа классических уравнений реакции диффузии, таких как ситуация, когда газ из молекул диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: . Чтобы увидеть, как такая реакция может быть описана формализмом операторов уничтожения и созидания, рассмотримчастицы в узле i на одномерной решетке. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте уничтожает друг друга с определенной другой вероятностью.
Вероятность того, что одна частица покинет площадку за короткий промежуток времени dt , пропорциональна, скажем вероятность прыгнуть влево и прыгать прямо. Все частицы останутся на месте с вероятностью . (Поскольку dt очень короткое, вероятность того, что двое или более уйдут во время dt , очень мала и будет проигнорирована.)
Теперь мы можем описать заполнение решеткой частицами как `` кет '' вида
. Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний., расположены на отдельных участках решетки. Напомним, что
а также
для всех n ≥ 0, а
Это определение операторов теперь будет изменено с учетом «неквантовой» природы этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение: [7]
обратите внимание, что даже несмотря на то, что поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются коммутационному соотношению
Теперь определим так что это применимо к . Соответственно определим как применение к . Так, например, чистый эффект от состоит в том, чтобы переместить частицу из к сайт при умножении на соответствующий коэффициент.
Это позволяет записать чистое диффузионное поведение частиц как
где сумма закончилась .
Срок реакции можно вывести, отметив, что частицы могут взаимодействовать в разными способами, так что вероятность того, что пара аннигилирует, равна , давая срок
где числовое состояние n заменено числовым состоянием n - 2 на сайте с определенной скоростью.
Таким образом, государство развивается за счет
Аналогичным образом можно включить и другие виды взаимодействий.
Такой вид обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля для анализа реакционно-диффузионных систем.
Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля
В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами рождения и уничтожения квантовых состояний, а также . Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,
,
по одному, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например,) представляют собой квантовые числа, которые маркируют одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются отдельными числами. Например, набор квантовых чиселиспользуется для обозначения состояний в атоме водорода .
Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в мультибозонной системе:
где является коммутатор и- дельта Кронекера .
Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором ,
Следовательно, замена непересекающихся (т. Е. ) в продуктах операторов рождения или уничтожения будут менять знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.
Если состояния, помеченные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация будет более тонкой.
Нормализация
В то время как Зи [8] получает нормировку импульсного пространствачерез симметричное соглашение для преобразований Фурье, Тонг [9] и Пескин и Шредер [10] используют общее асимметричное соглашение, чтобы получить. Каждый выводит.
Средницки дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру в свою асимметричную меру Фурье, , уступая . [11]
Смотрите также
Пространство Сегала – Баргмана.
Преобразования Боголюбова - возникает в теории квантовой оптики.
Оптическое фазовое пространство
Фокское пространство
Канонические коммутационные соотношения
Рекомендации
Фейнман, Ричард П. (1998) [1972]. Статистическая механика: набор лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-36076-9.
Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского, сделанный Г.М. Теммером. Северная Голландия, John Wiley & Sons. Гл. XII. онлайн
Сноски
^ ( Фейнман 1998 , стр.151)
^ ( Фейнман 1998 , стр.167)
^ ( Фейнман 1998 , стр. 174–5)
^ Нормальный оператор имеет представление A = B + i C , где B, C самосопряжены и коммутируют , т. Е.. Напротив, a имеет представление где самосопряженные, но . Тогда B и C имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как p и q, как известно, их нет и нет.
^ а б вБрэнсон, Джим. «Квантовая физика в Калифорнийском университете в США» . Проверено 16 мая 2012 года .
^ Этот и дальнейший операторный формализм можно найти в Glimm and Jaffe, Quantum Physics , pp. 12–20.
^Прюсснер, Гуннар. "Анализ процессов реакции-диффузии методами теории поля" (PDF) . Проверено 31 мая 2021 года .
^Зи, А. (2003). В двух словах о квантовой теории поля . Издательство Принстонского университета. п. 63. ISBN 978-0691010199.
^Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля . п. 24,31 . Проверено 3 декабря 2019 .
^Пескин, М .; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5.
^Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 39, 41. ISBN 978-0521-8644-97. Проверено 3 декабря 2019 .