Когерентное состояние

Часть серии по
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В физике , в частности , в квантовой механике , А когерентное состояние является специфическим квантовое состояние из квантового гармонического осциллятора , часто описываются как состояние , которое имеет динамику наиболее близко напоминающую колебательное поведение классического гармонического осциллятора . Это был первый пример квантовой динамики, когда Эрвин Шредингер вывел его в 1926 году при поиске решений уравнения Шредингера , удовлетворяющих принципу соответствия . ^[1]Квантовый гармонический осциллятор и, следовательно, когерентные состояния возникают в квантовой теории широкого круга физических систем. ^[2] Например, когерентное состояние описывает колебательное движение частицы, заключенной в квадратичную потенциальную яму (ранние ссылки см., Например, в учебнике Шиффа ^[3] ). Когерентное состояние описывает состояние в системе, для которого волновой пакет основного состояния смещен из источника системы. Это состояние может быть связано с классическими решениями по частице, колеблющейся с амплитудой, эквивалентной смещению.

Эти состояния, выраженные в виде собственных векторов в понижающего оператора и формирования Переполненные семьи, были введены в ранних работах Джона Р. Клаудера , например , ^[4] В квантовой теории света ( квантовой электродинамики ) и других Бозонная квантовых теориях поля , когерентного государства были введены работой Роя Дж. Глаубера в 1963 году и также известны как состояния Глаубера .

Концепция когерентных состояний значительно абстрагирована; это стало основной темой в математической физике и прикладной математике , с приложениями, от квантования до обработки сигналов и обработки изображений (см. Когерентные состояния в математической физике ). По этой причине когерентные состояния, связанные с квантовым гармоническим осциллятором , иногда называют каноническими когерентными состояниями (CCS), стандартными когерентными состояниями , гауссовыми состояниями или состояниями осциллятора.

Когерентные состояния в квантовой оптике [ править ]

В квантовой оптике когерентное состояние относится к состоянию квантованного электромагнитного поля и т. Д. ^{[2] [6] [7],} которое описывает максимальный вид когерентности и классический тип поведения. Эрвин Шредингер вывел его как гауссовский волновой пакет с «минимальной неопределенностью » в 1926 году, ища решения уравнения Шредингера , удовлетворяющие принципу соответствия . ^[1] Это состояние минимальной неопределенности., с единственным свободным параметром, выбранным, чтобы сделать относительную дисперсию (стандартное отклонение в натуральных безразмерных единицах) равной для положения и импульса, каждый из которых одинаково мал при высокой энергии.

Далее, в отличие от собственных энергетических состояний системы, временная эволюция когерентного состояния сосредоточена вдоль классических траекторий . Квантовый линейный гармонический осциллятор и, следовательно, когерентные состояния возникают в квантовой теории широкого круга физических систем. Они встречаются в квантовой теории света ( квантовой электродинамике ) и других бозонных квантовых теориях поля .

Хотя гауссовские волновые пакеты с минимальной неопределенностью были хорошо известны, они не привлекали полного внимания до тех пор, пока Рой Дж. Глаубер в 1963 году не дал полное квантово-теоретическое описание когерентности в электромагнитном поле. ^[8] В этом отношении не следует опускать одновременный вклад ЭКГ Сударшана , ^[9] (однако в статье Глаубера есть примечание, которое гласит: «Использование этих состояний в качестве производящих функций для -квантовых состояний имеет, однако был сделан Дж. Швингером ^[10] ). Глауберу было предложено сделать это, чтобы дать описание эксперимента Ханбери-Брауна и Твисса.${\ displaystyle n}$которые генерировали интерференционные картины с очень широкой базой (сотни или тысячи миль), которые можно было использовать для определения диаметров звезд. Это открыло путь к гораздо более полному пониманию согласованности. (Подробнее см. Описание квантовой механики .)

В классической оптике свет рассматривается как электромагнитные волны, исходящие от источника. Часто когерентный лазерный свет рассматривается как свет, излучаемый многими синфазными источниками . На самом деле картина, в которой один фотон находится в фазе с другим, неверна в квантовой теории. Лазерное излучение создается в резонансной полости, где резонансная частота полости совпадает с частотой, связанной с переходами атомных электронов, обеспечивая поток энергии в поле. По мере увеличения энергии в резонансном режиме вероятность стимулированного излучения только в этом режиме увеличивается. Это положительнопетля обратной связи, в которой амплитуда в резонансном режиме увеличивается экспоненциально, пока ее не ограничивают некоторые нелинейные эффекты . В качестве противоположного примера можно сказать, что электрическая лампочка излучает свет в виде континуума режимов, и нет ничего, что могло бы выбрать один режим по сравнению с другим. Процесс излучения очень случайен в пространстве и времени (см. Тепловое излучение ). Однако в лазере свет излучается в резонансном режиме, и этот режим очень когерентен . Таким образом, лазерный свет идеализируется как когерентное состояние. (Классически мы описываем такое состояние колебанием электрического поля как устойчивую волну. См. Рис.1)

Помимо описания лазеров, когерентные состояния также удобно ведут себя при описании квантового действия светоделителей : два входных луча когерентных состояний просто преобразуются в два луча когерентных состояний на выходе с новыми амплитудами, задаваемыми классическими формулами электромагнитных волн; ^[11] такого простого поведения не наблюдается для других состояний ввода, включая числовые состояния. Точно так же, если световой луч когерентного состояния частично поглощается, тогда остальная часть представляет собой чистое когерентное состояние с меньшей амплитудой, тогда как частичное поглощение света некогерентного состояния создает более сложное статистическое смешанное состояние . ^[11] Тепловой свет можно описать как статистическую смесь когерентных состояний, и типичный способ определенияНеклассический свет состоит в том, что его нельзя описать как простую статистическую смесь когерентных состояний. ^[11]

Собственные состояния энергии линейного гармонического осциллятора (например, массы на пружинах, колебания решетки в твердом теле, колебательные движения ядер в молекулах или колебания в электромагнитном поле) являются квантовыми состояниями с фиксированным числом. Состояние Фока (например, одиночный фотон) является наиболее частичным состоянием; он имеет фиксированное количество частиц и неопределенную фазу. Когерентное состояние распределяет свою квантово-механическую неопределенность поровну между канонически сопряженными координатами , положением и импульсом, а относительная неопределенность фазы [определенная эвристически ] и амплитуды примерно одинакова - и мала при большой амплитуде.

Квантово-механическое определение [ править ]

Математически когерентное состояние определяется как (единственное) собственное состояние оператора уничтожения â с соответствующим собственным значением α . Формально это читается так:${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle ~.}$

Поскольку â не эрмитово , α , как правило, комплексное число. Написание | α | и θ называются амплитудой и фазой состояния .${\ Displaystyle \ альфа = | \ альфа | е ^ {я \ тета},}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$

В литературе это состояние называется каноническим когерентным состоянием , поскольку существует много других типов когерентных состояний, как можно увидеть в сопутствующей статье « Когерентные состояния в математической физике» .${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$

Физически эта формула означает, что когерентное состояние остается неизменным при аннигиляции возбуждения поля или, скажем, частицы. Собственное состояние оператора аннигиляции имеет распределение числа Пуассона, когда оно выражено в основе собственных состояний энергии, как показано ниже. Распределение Пуассона является необходимым и достаточным условием , что все обнаружения статистически независимы. Сравните это с одночастичным состоянием (состояние Фока ): как только одна частица обнаружена, вероятность обнаружения другой равна нулю.${\displaystyle |1\rangle }$

Вывод этого будет использовать (нетрадиционно нормализованы) операторов безразмерных , X и P , обычно называют полевыми квадратур в квантовой оптике. (См. Обезразмерение .) Эти операторы связаны с операторами положения и импульса массы m на пружине с постоянным k ,

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

Для оптического поля ,

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

- действительная и мнимая составляющие моды электрического поля внутри объемной полости . ^[12]${\displaystyle V}$

С этими (безразмерными) операторами гамильтониан любой системы принимает вид

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

Эрвин Шредингер искал наиболее классические состояния, когда он впервые ввел гауссовские волновые пакеты с минимальной неопределенностью. Квантовое состояние гармонического осциллятора , который минимизирует соотношение неопределенности с неопределенностью в равной степени распределены между X и P удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

и поэтому

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1/2~.}$

Таким образом, учитывая (Δ Х -Δ Р ) ² ≥ 0 , Шредингера установлено , что минимальная неопределенность состояния для линейного гармонического осциллятора являются собственными состояниями ( Х + Ip ) .

Поскольку â есть ( X + iP ) , это распознается как когерентное состояние в смысле приведенного выше определения.

Используя обозначения для многофотонных состояний, Глаубер охарактеризовал состояние полной когерентности для всех порядков в электромагнитном поле как собственное состояние оператора аннигиляции - формально, в математическом смысле, то же состояние, которое нашел Шредингер. Название « когерентное состояние» закрепилось после работы Глаубера.

Если неопределенность минимизирована, но не обязательно одинаково сбалансирована между X и P , состояние называется сжатым когерентным состоянием .

Положение когерентного состояния в комплексной плоскости ( фазовое пространство ) центрируется в положении и импульсе классического осциллятора с фазой θ и амплитудой | α | задается собственным значением α (или тем же комплексным значением электрического поля для электромагнитной волны). Как показано на рисунке 5, неопределенность, в равной степени распространяться во всех направлениях, представлен диск с диаметром ¹ / ₂ . При изменении фазы когерентное состояние вращается вокруг начала координат, и диск не искажается и не расширяется. Это наиболее похожее квантовое состояние на единственную точку фазового пространства.

Так как неопределенность (и , следовательно , измерение шума) постоянным остается на ¹ / ₂ , так как амплитуда колебаний увеличивается, состояние ведет себя как все более и более синусоидальной волны, как показано на рисунке 1. Кроме того, поскольку вакуумное состояние является лишь когерентное состояние при α = 0 все когерентные состояния имеют ту же неопределенность, что и вакуум. Следовательно, можно интерпретировать квантовый шум когерентного состояния как результат флуктуаций вакуума.${\displaystyle |0\rangle }$

Обозначение не относится к фоковскому состоянию . Например, когда α = 1, не следует путать с однофотонным фоковским состоянием, которое также обозначается в его собственных обозначениях. Выражение с α = 1 представляет собой распределение Пуассона числовых состояний со средним числом фотонов, равным единице.${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |n\rangle }$

Формальным решением уравнения собственных значений является состояние вакуума, смещенное в точку α в фазовом пространстве, т. Е. Оно получается, если оператор унитарного смещения D (α) воздействует на вакуум,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$,

где â = X + iP и â ^† = X-iP .

Это легко увидеть, как и практически все результаты, касающиеся когерентных состояний, используя представление когерентного состояния в базисе фоковских состояний:

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle ~,}$

где - собственные векторы энергии (числа) гамильтониана ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle H=\hbar \omega ({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})~.}$

Для соответствующего распределения Пуассона вероятность обнаружения n фотонов равна

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

Точно так же среднее число фотонов в когерентном состоянии равно

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

и дисперсия

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

То есть стандартное отклонение обнаруженного числа равно квадратному корню из обнаруженного числа. Таким образом, в пределе большого α эта статистика обнаружения эквивалентна статистике классической устойчивой волны.

Эти результаты относятся к результатам обнаружения на одном детекторе и, таким образом, относятся к когерентности первого порядка (см. Степень когерентности ). Однако для измерений, коррелирующих обнаружения на нескольких детекторах, задействована когерентность более высокого порядка (например, корреляция интенсивности, когерентность второго порядка на двух детекторах). Глауберовское определение квантовой когерентности включает корреляционные функции n-го порядка (когерентность n-го порядка) для всех n . Совершенное когерентное состояние имеет все n-порядки корреляции, равные 1 (когерентный). Он идеально подходит для всех заказов.

Рой Дж. ГлауберРабота была продиктована результатами Ханбери-Брауна и Твисса, которые создали дальнодействующие (сотни или тысячи миль) интерференционные картины первого порядка за счет использования флуктуаций интенсивности (отсутствие когерентности второго порядка) с узкополосными фильтрами ( частичная когерентность первого порядка) на каждом детекторе. (Можно представить себе за очень короткие промежутки времени почти мгновенную интерференционную картину от двух детекторов из-за узкополосных фильтров, которая хаотично танцует из-за сдвига относительной разности фаз. С счетчиком совпадений танцующая интерференционная картина будет быть сильнее во времена повышенной интенсивности [общая для обоих лучей], и эта картина будет сильнее, чем фоновый шум.) Почти вся оптика была связана с когерентностью первого порядка.Результаты Ханбери-Брауна и Твисса побудили Глаубера взглянуть на когерентность более высокого порядка, и он предложил полное квантово-теоретическое описание когерентности для всех порядков в электромагнитном поле (и квантово-теоретическое описание сигнала плюс шум). . Он ввел терминкогерентное состояние и показали, что они возникают при взаимодействии классического электрического тока с электромагнитным полем.

При α ≫ 1 , как показано на рисунке 5, простая геометрия дает Δθ | α | = 1/2. Из этого следует, что существует компромисс между числовой неопределенностью и фазовой неопределенностью, Δθ Δn = 1/2, который иногда интерпретируется как соотношение неопределенностей число-фаза; но это не формальное строгое соотношение неопределенностей: в квантовой механике не существует однозначно определенного фазового оператора. ^{[13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]}

Волновая функция когерентного состояния [ править ]

Чтобы найти волновую функцию когерентного состояния, волновой пакет Шредингера с минимальной неопределенностью, проще всего начать с гейзенберговской картины квантового гармонического осциллятора для когерентного состояния . Обратите внимание, что${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

Когерентное состояние - это собственное состояние оператора уничтожения в картине Гейзенберга .

Легко видеть, что в картине Шредингера то же собственное значение

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

происходит,

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$ .

В координатных представлениях, полученных в результате работы , это составляет дифференциальное уравнение,${\displaystyle \langle x|}$

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

который легко решается дать

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

где θ (t) - еще не определенная фаза, которую необходимо зафиксировать, требуя, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Шредингера.

Следует, что

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

так что σ - начальная фаза собственного значения.

Среднее положение и импульс этого «минимального волнового пакета Шредингера» ψ ^(α) , таким образом, колеблются точно так же, как классическая система ,

Плотность вероятности остается гауссовой с центром на этом колеблющемся среднем значении,

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

Математические особенности канонических когерентных состояний [ править ]

Канонические когерентные состояния, описанные до сих пор, обладают тремя взаимно эквивалентными свойствами, поскольку каждое из них полностью определяет состояние , а именно:${\displaystyle |\alpha \rangle }$

1. Они являются собственными векторами оператора уничтожения :   .${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$
2. Их получают из вакуума путем применения унитарного оператора сдвига :   .${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$
3. Они являются состоянием (уравновешенной) минимальной неопределенности:   .${\displaystyle \Delta X=\Delta P=1/{\sqrt {2}}\,}$

Каждое из этих свойств может привести к обобщениям, в целом отличным друг от друга ( некоторые из них см. В статье « Когерентные состояния в математической физике »). Мы подчеркиваем, что математические особенности когерентных состояний сильно отличаются от характеристик фоковских состояний ; например, два разных когерентных состояния не ортогональны,

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(связано с тем, что они являются собственными векторами несамосопряженного оператора уничтожения â ).

Таким образом, если осциллятор находится в квантовом состоянии, он также с ненулевой вероятностью находится в другом квантовом состоянии (но чем дальше друг от друга находятся состояния в фазовом пространстве, тем меньше вероятность). Однако, поскольку они подчиняются соотношению замыкания, любое состояние может быть разложено на множество когерентных состояний. Следовательно, они образуют сверхполный базис , в котором можно диагонально разложить любое состояние. Это является предпосылкой для представления Sudarshan-Глаубер Р .${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$

Это замыкающее отношение может быть выражено разрешением тождественного оператора I в векторном пространстве квантовых состояний:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

Это разрешение тождества тесно связано с преобразованием Сигала – Баргманна .

Еще одна особенность в том, что у него нет собственного брака (а у â нет собственной бра). Следующее равенство является наиболее близкой формальной заменой и оказывается полезным для технических вычислений:${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle =\left({\partial \over \partial \alpha }+{\alpha ^{*} \over \alpha }{\partial \over \partial \alpha ^{*}}+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle ~.}$

Это последнее состояние известно как «состояние Агарвала» или когерентное состояние с добавлением фотонов и обозначается как ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

Нормализованные состояния Агарвала порядка n можно выразить как ^[21]${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$

Вышеупомянутая разрешающая способность идентичности может быть получена (ограничиваясь одним пространственным измерением для простоты) путем взятия матричных элементов между собственными состояниями положения по обе стороны уравнения. В правой части это сразу дает δ (xy) . Слева то же самое получается путем вставки ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

из предыдущего раздела (время произвольно), затем интегрирование с использованием представления Фурье дельта-функции , а затем выполнение гауссова интеграла по .${\displaystyle \Im (\alpha )}$${\displaystyle \Re (\alpha )}$

В частности, гауссовское состояние волнового пакета Шредингера следует из явного значения

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {e^{-{\frac {(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )}}{\pi ^{1/4}}}~.}$

Разрешение идентичности также может быть выражено в терминах положения и импульса частицы. Для каждого координатного измерения (с использованием адаптированного обозначения с новым значением для ), ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

отношение замыкания когерентных состояний читается

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

Его можно вставить в любое квантово-механическое математическое ожидание, связав его с некоторым квазиклассическим интегралом фазового пространства и объяснив, в частности, происхождение нормировочных множителей для классических статистических сумм в соответствии с квантовой механикой.${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$

Помимо того, что когерентное состояние является точным собственным состоянием операторов аннигиляции, оно является приблизительным общим собственным состоянием положения и импульса частицы. Снова ограничиваясь одним измерением,

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

Погрешность этих приближений измеряется неопределенностями положения и импульса,

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

Тепловое когерентное состояние [ править ]

Одномодовое тепловое когерентное состояние ^[22] создается путем смещения теплового смешанного состояния в фазовом пространстве , что является прямой аналогией смещения вакуумного состояния с целью генерации когерентного состояния. Матрица плотности когерентного теплового состояния в представлении оператора читает

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\dagger }(\alpha ),}$

где - оператор смещения, который генерирует когерентное состояние с комплексной амплитудой , и . Статсумма равно${\displaystyle D(\alpha )}$${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

Используя разложение оператора единства в состояниях Фока , , то оператор плотности определение может быть выражено в следующем виде${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D(\alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

где - смещенное фоковское состояние . Заметим, что если температура стремится к нулю, мы имеем${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

которая является матрицей плотности когерентного состояния. Среднее количество фотонов в этом состоянии можно рассчитать, как показано ниже.

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

где для последнего члена мы можем написать

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{(1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

В результате находим

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

где - среднее значение числа фотонов, рассчитанное по тепловому состоянию. Здесь мы определили, для простоты обозначений,${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}O\},}$

и мы пишем явно

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

В пределе получаем , что согласуется с выражением для оператора матрицы плотности при нулевой температуре. Точно так же дисперсию числа фотонов можно оценить как${\displaystyle \beta \to \infty }$${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^{2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

с . Мы делаем вывод, что второй момент не может быть разделен с тепловым и квантовым моментами распределения, в отличие от среднего значения (первого момента). В этом смысле статистика фотонов перемещенного теплового состояния не описываются суммой статистики Пуассона и статистика Больцмана . Распределение начального теплового состояния в фазовом пространстве расширяется в результате когерентного смещения.${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^{2}}$

Когерентные состояния конденсатов Бозе – Эйнштейна [ править ]

• Конденсат Бозе-Эйнштейна (БЭК) представляет собой совокупность атомов бозонов, которые все в том же квантовом состоянии. В термодинамической системе основное состояние становится макроскопически заполненным ниже критической температуры - примерно, когда тепловая длина волны де Бройля больше, чем расстояние между атомами. Считается, что сверхтекучесть жидкого гелия-4 связана с конденсацией Бозе – Эйнштейна в идеальном газе. Но ⁴ He имеет сильные взаимодействия, и фактор структуры жидкости (статистика 2-го порядка) играет важную роль. Использование когерентного состояния для представления сверхтекучей составляющей ⁴ He обеспечило хорошую оценку фракций конденсат / неконденсат в сверхтекучести, что согласуется с результатами рассеяния медленных нейтронов. ^{[23][24] [25]} Большинство специальных свойств сверхтекучей жидкости вытекают непосредственно из использования когерентного состояния для представления сверхтекучей компоненты, которая действует как макроскопически заполненное однокомпонентное состояние с четко определенной амплитудой и фазой во всем объеме. (Сверхтекучая составляющая ⁴ He изменяется от нуля при температуре перехода до 100% при абсолютном нуле. Но доля конденсата составляет около 6% ^[26] при температуре абсолютного нуля, T = 0K.)
• В начале исследования сверхтекучести Пенроуз и Онсагер предложили метрику («параметр порядка») для сверхтекучести. ^[27] Он был представлен макроскопической факторной компонентой (макроскопическим собственным значением) в приведенной матрице плотности первого порядка. Позже CN Yang ^[28] предложил более обобщенную меру макроскопической квантовой когерентности, названную «внедиагональным дальним порядком» (ODLRO), ^[28]в том числе фермионные и бозонные системы. ODLRO существует всякий раз, когда есть макроскопически большой факторный компонент (собственное значение) в приведенной матрице плотности любого порядка. Сверхтекучесть соответствует большой факторной составляющей в приведенной матрице плотности первого порядка. (И все матрицы приведенной плотности более высокого порядка ведут себя аналогично.) Сверхпроводимость включает в себя большой факторный компонент в матрице пониженной плотности 2-го порядка (« куперовская электронная пара »).
• Матрицы приведенной плотности, используемые для описания макроскопической квантовой когерентности в сверхтекучих жидкостях, формально совпадают с корреляционными функциями, используемыми для описания порядков когерентности в излучении. Оба являются примерами макроскопической квантовой когерентности. Макроскопически большая когерентная составляющая плюс шум в электромагнитном поле, как это дает описание Глаубера «сигнал плюс шум», формально совпадает с макроскопически большой сверхтекучей составляющей плюс нормальная жидкостная составляющая в двухжидкостной модели сверхтекучести.
• Повседневное электромагнитное излучение, такое как радио и телевизионные волны, также является примером близких к когерентным состояниям (макроскопическая квантовая когерентность). Это должно "дать паузу" относительно традиционного разграничения квантового и классического.
• Когерентность в сверхтекучести не следует приписывать какому-либо подмножеству атомов гелия; это своего рода коллективное явление, в котором участвуют все атомы (аналогично куперовскому спариванию в сверхпроводимости, как указано в следующем разделе).

Когерентные электронные состояния в сверхпроводимости [ править ]

• Электроны - это фермионы, но когда они объединяются в куперовские пары, они действуют как бозоны и поэтому могут коллективно образовывать когерентное состояние при низких температурах. Это спаривание на самом деле происходит не между электронами, а в состояниях, доступных электронам, входящим и выходящим из этих состояний. ^[29] Куперовское спаривание относится к первой модели сверхпроводимости. ^[30]
• Эти когерентные состояния являются частью объяснения таких эффектов, как квантовый эффект Холла в низкотемпературных сверхпроводящих полупроводниках.

Обобщения [ править ]

• Согласно Гилмору и Переломову, которые показали это независимо, построение когерентных состояний может рассматриваться как проблема в теории групп , и, таким образом, когерентные состояния могут быть связаны с группами, отличными от группы Гейзенберга , что приводит к каноническим когерентным состояниям, обсуждаемым выше. . ^{[31] [32] [33] [34]} Более того, эти когерентные состояния могут быть обобщены на квантовые группы . Эти темы со ссылками на оригинальные работы подробно обсуждаются в Когерентных состояниях в математической физике .

• В квантовой теории поля и теории струн , обобщение когерентных состояний на случай , когда бесконечно много степеней свободы используется для определения состояния вакуума с различным значением вакуума от исходного вакуума.
• В одномерных квантовых системах многих тел с фермионными степенями свободы возбужденные состояния с низкой энергией могут быть аппроксимированы как когерентные состояния оператора бозонного поля, который создает возбуждения между частицами и дырками. Такой подход называется бозонизацией .
• Гауссовские когерентные состояния нерелятивистской квантовой механики можно обобщить на релятивистские когерентные состояния частиц Клейна-Гордона и Дирака. ^{[35] [36] [37]}
• Когерентные состояния также появились в работах по петлевой квантовой гравитации или для построения (полу) классической канонической квантовой общей теории относительности. ^{[38] [39]}

См. Также [ править ]

• Когерентные состояния в математической физике
• Квантовая теория поля
• Квантовая оптика
• Квантовый усилитель
• Электромагнитное поле
• Степень согласованности

Внешние ссылки [ править ]

• Квантовые состояния светового поля
• Глауберовы состояния: когерентные состояния квантового гармонического осциллятора
• Измерение когерентного состояния с интерактивной статистикой фотонов

Ссылки [ править ]