Вейвлет Габора

Вейвлеты Габора - это вейвлеты, изобретенные Деннисом Габором с использованием сложных функций, построенных, чтобы служить основой для преобразований Фурье в приложениях теории информации . Они очень похожи на вейвлеты Морле . Они также тесно связаны с фильтрами Габора . Важным свойством вейвлета является то, что он минимизирует произведение своих стандартных отклонений во временной и частотной областях. Другими словами, неопределенностьинформация, переносимая этим вейвлетом, сведена к минимуму. Однако у них есть обратная сторона - они неортогональны, поэтому эффективное разложение на базис затруднено. С момента их появления появились различные приложения, от обработки изображений до анализа нейронов в зрительной системе человека. ^{[1] [2]}

Свойство минимальной неопределенности [ править ]

Мотивация для вейвлетов Габора исходит из поиска некоторой функции, которая минимизирует ее стандартное отклонение во временной и частотной областях. Более формально, дисперсия в позиционной области составляет:${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle (\ Delta x) ^ {2} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x- \ mu) ^ {2} f (x) f ^ {*} ( x) \, dx} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) f ^ {*} (x) \, dx}}}$

где - комплексное сопряжение и - среднее арифметическое, определяемое как:${\ displaystyle f ^ {*} (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) f ^ {*} (x) \, dx} {\ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} f (x) f ^ {*} (x) \, dx}}}$

Дисперсия в области волновых чисел составляет:

${\ displaystyle (\ Delta k) ^ {2} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (k-k_ {0}) ^ {2} F (k) F ^ {* } (k) \, dk} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (k) F ^ {*} (k) \, dk}}}$

Там , где это среднее арифметическое преобразования Фурье , :${\ displaystyle k_ {0}}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle F (х)}$

${\ displaystyle k_ {0} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} kF (k) F ^ {*} (k) \, dk} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (k) F ^ {*} (k) \, dk}}}$

С их определением неопределенность записывается как:

${\ Displaystyle (\ Delta x) (\ Delta k)}$

Было показано, что это количество имеет нижнюю границу . С точки зрения квантовой механики, это следует интерпретировать как неопределенность положения и неопределенность количества движения. Функция с наименьшей теоретически возможной границей неопределенности - это вейвлет Габора. ^[3]${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle (\Delta x)}$${\displaystyle \hbar (\Delta k)}$${\displaystyle f(x)}$

Уравнение [ править ]

Уравнение одномерного вейвлета Габора является гауссовским, модулированным комплексной экспонентой, описываемым следующим образом: ^[3]

${\displaystyle f(x)=e^{-(x-x_{0})^{2}/a^{2}}e^{-ik_{0}(x-x_{0})}}$

В отличие от других функций, обычно используемых в качестве баз в преобразованиях Фурье, таких как и , вейвлеты Габора обладают свойствами локальности, что означает, что по мере увеличения расстояния от центра значение функции экспоненциально подавляется. контролирует скорость этого экспоненциального спада и контролирует скорость модуляции.${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k_{0}}$

Также стоит отметить преобразование Фурье вейвлета Габора, которое также является вейвлетом Габора:

${\displaystyle F(k)=e^{-(k-k_{0})^{2}a^{2}}e^{-ix_{0}(k-k_{0})}}$

Здесь приведен пример вейвлета:

Вейвлет Габора с a  = 2, x ₀  = 0 и k ₀  = 1

Улучшенный вейвлет Габора [ править ]

^[4] предлагают улучшенное обратимое вейвлет-преобразование Габора. Спектр,использующий улучшенный вейвлетсигналас частотойв данный момент времени, определяется как${\displaystyle J(f,\tau )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h(\tau )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle J(f,\tau )=h(\tau )*g_{f,0}(\tau )}$

Сигнал можно восстановить с помощью

${\displaystyle h(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }J(f,t)*\exp(j2\pi ft)\,df}$

Обратите внимание, что это относится к свертке . Вейвлет определяется как${\displaystyle *}$

${\displaystyle g_{f,\tau }(t)=|f|g(f\cdot (t-\tau ))}$

${\displaystyle g(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2*\pi }}}}\exp(-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}+j2\pi t)}$

См. Также [ править ]

• Преобразование Габора
• Фильтр Габора
• Вейвлет Морле

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Код MATLAB для двумерных вейвлетов Габора и извлечения признаков Габора