Волновое число

Диаграмма, иллюстрирующая взаимосвязь между волновым числом и другими свойствами гармонических волн.

В физических науках , то волновое число (также волновое число или repetency ^[1] ) является пространственной частотой из волны , измеренной в циклах на единицу расстояния или радианы на единицу расстояния. В то время как временную частоту можно представить как количество волн в единицу времени, волновое число - это количество волн на единицу расстояния.

В многомерных системах волновое число - это величина волнового вектора . Пространство волновых векторов называется обратным пространством . Волновые числа и волновые векторы играют существенную роль в оптике и физике рассеяния волн, например, дифракции рентгеновских лучей , нейтронной дифракции , дифракции электронов и элементарных частиц физики. Для квантово-механических волн волновое число, умноженное на приведенную постоянную Планка, и есть канонический импульс .

Волновое число можно использовать для указания величин, отличных от пространственной частоты. В оптической спектроскопии он часто используется как единица временной частоты, предполагающей определенную скорость света .

Определение [ править ]

Волновое число, используемое в спектроскопии и большинстве областей химии, определяется как количество длин волн на единицу расстояния, обычно сантиметры (см ^-1 ):

${\ Displaystyle {\ тильда {\ ню}} \; = \; {\ гидроразрыва {1} {\ lambda}}}$,

где λ - длина волны. Иногда его называют «спектроскопическим волновым числом». ^[1] Он равен пространственной частоте .

В теоретической физике чаще используется волновое число, определяемое как количество радиан на единицу расстояния, иногда называемое «угловым волновым числом»: ^[2]

${\ Displaystyle к \; = \; {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}$

Когда волновое число представлено символом ν , частота все еще отображается, хотя и косвенно. Как описано в разделе «Спектроскопия», это делается с помощью отношения , где ν _s - частота в герцах . Это сделано для удобства, так как частоты обычно очень большие. ^[3]${\displaystyle {\frac {\nu _{s}}{c}}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\;\equiv \;{\tilde {\nu }}}$

Он имеет размеры по обратной длине , так что его единица СИ является обратной величиной метров ^{(м -1} ). В спектроскопии принято указывать волновые числа в единицах cgs (т. Е. В обратных сантиметрах; см ^-1 ); в этом контексте волновое число раньше называлось кайзером в честь Генриха Кайзера (в некоторых более старых научных работах использовалась эта единица измерения, сокращенно K , где 1  K = 1  см ^-1 ). ^[4] Угловое волновое число может быть выражено в радианах на метр (рад⋅м ^-1 ) или, как указано выше, посколькурадиан является безразмерным .

Для электромагнитного излучения в вакууме волновое число пропорционально частоте и энергии фотона . По этой причине волновые числа используются в спектроскопии в качестве единицы энергии .

Сложный [ править ]

Комплексное волновое число может быть определено для среды с комплексной относительной диэлектрической проницаемостью , относительной проницаемостью и показателем преломления n как: ^[5]${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \mu _{r}}$

${\displaystyle k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n}$

где k ₀ - волновое число в свободном пространстве, как указано выше. Мнимая часть волнового числа выражает ослабление на единицу расстояния и полезна при изучении экспоненциально затухающих затухающих полей .

Плоские волны в линейных средах [ править ]

Коэффициент распространения синусоидальной плоской волны, распространяющейся в направлении x в линейном материале, определяется выражением

${\displaystyle P=e^{-jkx}}$^{[6] : 51}

где

${\displaystyle k=k'-jk''={\sqrt {-(\omega \mu ''+j\omega \mu ')(\sigma +\omega \epsilon ''+j\omega \epsilon ')}}\;}$

${\displaystyle k'=}$ фазовая постоянная в радианах на метр

${\displaystyle k''=}$ константа затухания в непер / метр

${\displaystyle \omega =}$ частота в радианах / метр

${\displaystyle x=}$ пройденное расстояние в направлении x

${\displaystyle \sigma =}$ проводимость в См / метр

${\displaystyle \epsilon =\epsilon '-j\epsilon ''=}$ комплексная диэлектрическая проницаемость

${\displaystyle \mu =\mu '-j\mu ''=}$ комплексная проницаемость

${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$

Знаковое соглашение выбрано для согласованности с распространением в среде с потерями. Если константа затухания положительна, амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны , фазовая скорость и толщина скин-слоя имеют простые отношения с компонентами волнового числа:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k''}}}$

В волновых уравнениях [ править ]

Здесь мы предполагаем, что волна является регулярной в том смысле, что различные величины, описывающие волну, такие как длина волны, частота и, следовательно, волновое число, являются постоянными. См. Волновой пакет для обсуждения случая, когда эти величины непостоянны.

В общем, угловое волновое число K (т.е. величины от волнового вектора ) задаются

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}}$

где ν - частота волны, λ - длина волны, ω = 2 πν - угловая частота волны, а v _p - фазовая скорость волны. Зависимость волнового числа от частоты (или, чаще, частоты от волнового числа) известна как дисперсионное соотношение .

Для частного случая электромагнитной волны в вакууме, когда волна распространяется со скоростью света, k определяется как:

${\displaystyle k={\frac {E}{\hbar c}}}$

где E - энергия волны, ħ - приведенная постоянная Планка , а c - скорость света в вакууме.

Для частного случая материальной волны , например электронной волны, в нерелятивистском приближении (в случае свободной частицы, то есть частица не имеет потенциальной энергии):

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}$

Здесь p - импульс частицы, m - масса частицы, E - кинетическая энергия частицы, а ħ - приведенная постоянная Планка .

Волновое число также используется для определения групповой скорости .

В спектроскопии [ править ]

В спектроскопии «волновое число» часто относится к частоте, которая делится на скорость света в вакууме :${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

${\displaystyle {\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.}$

Историческая причина использования этого спектроскопического волнового числа, а не частоты заключается в том, что оно оказалось удобным при измерении атомных спектров: спектроскопическое волновое число обратно пропорционально длине волны света в вакууме:

${\displaystyle \lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}},}$

который остается практически таким же в воздухе, и поэтому спектроскопическое волновое число напрямую связано с углами света, рассеянного дифракционными решетками, и расстоянием между полосами в интерферометрах , когда эти инструменты работают в воздухе или в вакууме. Такие волновые числа впервые были использованы в расчетах Иоганна Ридберга в 1880-х годах. Принцип Ридберга-Ритца комбинация 1908 была также сформулирована в терминах волновых чисел. Спустя несколько лет спектральные линии стали понятны в квантовой теории.как разность уровней энергии, пропорциональная волновому числу или частоте. Однако спектроскопические данные продолжали составлять таблицы с точки зрения спектрального волнового числа, а не частоты или энергии.

Например, спектральные волновые числа спектра излучения атомарного водорода даются формулой Ридберга :

${\displaystyle {\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),}$

где R - постоянная Ридберга , а n _i и n _f - главные квантовые числа начального и конечного уровней соответственно ( n _i больше, чем n _f для излучения).

Спектроскопическое волновое число может быть преобразовано в энергию, приходящуюся на фотон E, с помощью соотношения Планка :

${\displaystyle E=hc{\tilde {\nu }}.}$

Его также можно преобразовать в длину волны света:

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},}$

где п есть показатель преломления в среде . Обратите внимание, что длина волны света изменяется при прохождении через различные среды, однако спектроскопическое волновое число (то есть частота) остается постоянным.

Обычно используются единицы обратного сантиметра (см ^-1 ) , поэтому часто такие пространственные частоты выражаются некоторыми авторами «в волновых числах» ^[7], неправильно переводя название величины в саму единицу СГС см ^-1 . ^[8]${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

Волновое число в обратных сантиметрах можно преобразовать в частоту в ГГц, умножив на 29,9792458 (скорость света в сантиметрах за наносекунду). ^[9]

См. Также [ править ]

• Пространственная частота
• Показатель преломления
• Зональное волновое число

Ссылки [ править ]