Обратная решетка

Компьютерная обратная решетка вымышленного моноклинного 3D-кристалла.

Двумерный кристалл и его обратная решетка

В физике , то обратная решетка представляет собой преобразование Фурье другой решетки (обычно решетки Браве ). При обычном использовании исходная решетка (преобразование которой представлено обратной решеткой) обычно является периодической пространственной функцией в реальном пространстве и также известна как прямая решетка . В то время как прямая решетка существует в реальном пространстве и является тем, что обычно называют физической решеткой, обратная решетка существует во взаимном пространстве (также известном как импульсное пространство или, реже, как K-пространство , из-за связи между дуальными по Понтрягинамимпульс и позиция). Обратная решетка обратной решетки эквивалентна исходной прямой решетке, потому что определяющие уравнения симметричны относительно векторов в реальном и обратном пространстве. Математически векторы прямой и обратной решетки представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно.

Обратная решетка играет очень фундаментальную роль в большинстве аналитических исследований периодических структур, особенно в теории дифракции . При дифракции нейтронов и рентгеновских лучей , из-за условий Лауэ , разность импульсов между падающими и дифрагированными рентгеновскими лучами кристалла является вектором обратной решетки. Дифракционная картина кристалла может использоваться для определения обратных векторов решетки. Используя этот процесс, можно сделать вывод об атомном расположении кристалла.

Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера-Зейтца обратной решетки.

Волновое описание [ править ]

Взаимное пространство [ править ]

Взаимное пространство (также называемое k- пространством ) обеспечивает способ визуализации результатов преобразования Фурье пространственной функции. По своей роли он аналогичен частотной области, возникающей в результате преобразования Фурье функции, зависящей от времени. Сама область пространственной функции часто упоминается как реальное пространство . В физических приложениях, таких как кристаллография, как реальное, так и обратное пространство часто бывает двух- или трехмерным. В то время как эти пространственные измерения будут одинаковыми, пространства будут отличаться своими единицами измерения, так что, когда реальное пространство имеет единицы длины L , его обратное пространство будет иметь соответствующие единицы единицы, деленной на длину L ^−1. (величина, обратная длине).

Взаимное пространство играет важную роль в отношении волн, как классических, так и квантово-механических. Поскольку синусоидальная плоская волна с единичной амплитудой может быть записана в виде колебательный термина , с начальной фазой , угловым волновомом и угловой частотой , ее можно рассматривать как функцию , как и (и изменяющиеся во времени части как функции , как и ) . Эта дополнительная роль и приводит к их визуализации в дополнительных пространствах. Пространственная периодичность этой волны определяется ее длиной волны , где ;${\ displaystyle \ cos {(kx {-} \ omega t {+} \ phi _ {0})}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {0}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle к \ лямбда = 2 \ пи}$следовательно, соответствующее волновое число в обратном пространстве будет .${\ Displaystyle к = 2 \ пи / \ лямбда}$

В трехмерном пространстве соответствующий член плоской волны становится , что упрощается до фиксированного времени , где - вектор положения точки в реальном пространстве, а теперь - волновой вектор в трехмерном обратном пространстве. Константой является фазой волнового фронта (плоскости постоянной фазы) через начало координат в момент времени , и является единичным вектором , перпендикулярный к этому волновому фронту. Волновые фронты с фазой представляют собой набор параллельных плоскостей, равномерно разнесенных по длине волны .${\ displaystyle \ cos {(\ mathbf {k} {\ cdot} \ mathbf {r} {-} \ omega t {+} \ phi _ {0})}}$${\ Displaystyle \ соз {(\ mathbf {к} {\ cdot} \ mathbf {r} {+} \ phi)}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \lambda }$

Обратная решетка [ править ]

В общем, геометрическая решетка состоит из бесконечного регулярного массива вершин в пространстве, который можно моделировать векторно как решетку Браве . Некоторые решетки могут быть наклонными, что означает, что их основные линии не обязательно должны быть под прямым углом. Обратная решетка представляет собой периодический набор волновых векторов в обратном пространстве , которые составляют ряд Фурье любой функции , чья периодичность совместимо с начальной прямой решеткой в реальном пространстве. Эквивалентно, волновой вектор является вершиной обратной решетки, если он соответствует плоской волне в реальном пространстве, фаза которой в любой момент времени одинакова в каждой прямой вершине решетки.${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

Один эвристический подход к построению обратной решетки в трех измерениях состоит в том, чтобы записать вектор положения вершины прямой решетки как , где - целые числа, определяющие вершину, а - линейно независимые примитивные векторы, характерные для решетки. Тогда существует уникальная плоская волна (с точностью до отрицательного множителя), волновой фронт которой через начало координат содержит прямые точки решетки в и , а также смежный волновой фронт, проходящий через них . Его угловой волновой вектор принимает форму , где - единичный вектор, перпендикулярный этим двум волновым фронтам, и длина волны должна удовлетворять .${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}{+}n_{2}\mathbf {a} _{2}{+}n_{3}\mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$Следовательно, по построению и .${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$

Перебирая индексы по очереди, тот же метод дает три волновых вектора с , где дельта Кронекера равна единице, когда и равна нулю в противном случае. Они содержат набор из трех примитивных волновых векторов для обратной решетки, каждая из вершин которых принимает форму , где - целые числа. Тогда простая алгебра показывает, что для любой плоской волны с волновым вектором на обратной решетке полный фазовый сдвиг между началом координат и любой точкой на прямой решетке кратен (возможно, нулю) :${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}{+}m_{2}\mathbf {b} _{2}{+}m_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle 2\pi }$так что фаза действительно будет одинаковой для каждой вершины прямой решетки в соответствии с определением обратной решетки, приведенным выше. (Хотя любой волновой вектор на обратной решетке всегда принимает эту форму, этот вывод является скорее мотивационным, чем строгим, поскольку в нем опущено доказательство отсутствия других возможностей.)${\displaystyle \mathbf {G} }$

Зона Бриллюэна - это примитивная ячейка (точнее ячейка Вигнера-Зейтца ) обратной решетки, которая играет важную роль в физике твердого тела в силу теоремы Блоха . В чистой математике сопряженное пространство из линейных форм и двойная решетка обеспечивают более абстрактные обобщения обратного пространства и обратной решетку.

Математическое описание [ править ]

Демонстрация связи реальной и обратной решетки. Двумерная решетка реального пространства (красные точки) с примитивными векторами и показаны синими и зелеными стрелками соответственно. Сверху нанесены плоские волны формы . Из этого мы видим, что когда есть любая целочисленная комбинация базиса вектора обратной решетки и (то есть любого вектора обратной решетки), результирующие плоские волны имеют ту же периодичность решетки, то есть любое перемещение из точки (показано оранжевым цветом) в точку ( показан красным), значение плоской волны такое же. Эти плоские волны можно сложить вместе, и указанное выше соотношение будет по-прежнему применяться.${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle e^{iG\cdot r}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R+r}$${\displaystyle R}$

Предполагая двумерную решетку Браве и помечая каждый вектор решетки нижним индексом${\displaystyle n=(n_{1},n_{2}),}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}}$где .${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }$

Если взять функцию, где - вектор от начала координат до любого положения, если следует периодичность решетки, например электронная плотность в атомном кристалле, полезно записать в виде многомерного ряда Фурье${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=f\left(\mathbf {r} \right)}$

где теперь индекс так это двойная сумма.${\displaystyle m=(m_{1},m_{2}),}$

Как следует из периодичности решетки, сдвигая на любой вектор решетки, мы получаем одно и то же значение, следовательно,${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} )}$

Выражая вышесказанное через их ряды Фурье, мы имеем

${\displaystyle \sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}=\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}}=\sum _{m}{f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }}}$

Поскольку равенство двух рядов Фурье влечет равенство их коэффициентов , что имеет место только при${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$ куда ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} .}$

Этот критерий ограничивает значения векторов, которые удовлетворяют этому соотношению. Математически обратная решетка - это набор всех векторов, которые удовлетворяют вышеуказанному тождеству для всех векторов положения точек решетки . По существу, любая функция, которая демонстрирует ту же периодичность решетки, может быть выражена в виде ряда Фурье с угловыми частотами, взятыми из обратной решетки.${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

Эта обратная решетка сама по себе является решеткой Браве, а обратная решетка является исходной решеткой, которая выявляет двойственность Понтрягина их соответствующих векторных пространств.

Два измерения [ править ]

Для бесконечной двумерной решетки, определяемой ее примитивными векторами , ее обратная решетка может быть определена путем генерирования ее двух взаимных примитивных векторов с помощью следующих формул:${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

Где,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

Здесь представляет собой 90 градусов матрицу поворота , т.е. д uarter очереди. Вращение против часовой стрелки и вращение по часовой стрелке можно использовать для определения обратной решетки: If - вращение против часовой стрелки, а - вращение по часовой стрелке для всех векторов . Таким образом, используя перестановку${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q'} }$${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.\end{aligned}}}$

Три измерения [ править ]

Для бесконечной трехмерной решетки, определяемой ее примитивными векторами , ее обратная решетка может быть определена путем создания трех ее взаимных примитивных векторов с помощью формул${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$

где нижний индекс в трех измерениях, а для скалярного тройного произведения :${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$ ${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$

Используя представление вектор-столбцов (взаимных) примитивных векторов, приведенные выше формулы можно переписать с помощью обращения матрицы :

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

Этот метод обращается к определению и допускает обобщение до произвольных размеров. Формула перекрестного произведения доминирует во вводных материалах по кристаллографии.

Приведенное выше определение называется "физическим" определением, поскольку фактор естественным образом возникает из изучения периодических структур. Эквивалентное определение, определение «кристаллографа», происходит из определения обратной решетки как которая изменяет определения векторов обратной решетки на${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

и так далее для остальных векторов. У определения кристаллографа есть то преимущество, что определение - это просто величина, обратная величине в направлении , с понижением коэффициента . Это может упростить определенные математические манипуляции и выразить размеры обратной решетки в единицах пространственной частоты . Какое определение решетки использовать - дело вкуса, если они не смешиваются.${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle 2\pi }$

Каждая точка в обратной решетке соответствует набору плоскостей решетки в реальном пространстве решетки. Направление вектора обратной решетки соответствует нормали к плоскостям реального пространства. Величина вектора обратной решетки дана в обратной длине и равна обратной величине межплоскостного расстояния между плоскостями реального пространства.${\displaystyle (hkl)}$${\displaystyle (hkl)}$

${\displaystyle n}$размеры [ править ]

Формула для измерений может быть получена в предположении -мерном реальном векторном пространстве с базисом и внутренним произведением . Векторы обратной решетки однозначно определяются по формуле . Используя перестановку${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

их можно определить по следующей формуле:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\epsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

Здесь - форма объема , - обратный изоморфизму векторного пространства, определяемый и обозначающий внутреннее умножение .${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$${\displaystyle \lrcorner }$

Можно убедиться, что эта формула эквивалентна известным формулам для двух- и трехмерного случая, используя следующие факты: в трех измерениях и в двух измерениях , где - поворот на 90 градусов (как и форма объема угол поворота зависит от выбора ориентации ^[1] ).${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$

Обратные решетки различных кристаллов [ править ]

Обратные решетки для кубической кристаллической системы следующие.

Простая кубическая решетка [ править ]

Простая кубическая решетка Браве с кубической примитивной ячейкой стороны имеет в качестве обратной стороны простую кубическую решетку с кубической примитивной ячейкой стороны ( в определении кристаллографа). Поэтому кубическая решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве.${\displaystyle a}$${\displaystyle \textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{a}}}$

Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка [ править ]

Обратной решеткой для ГЦК-решетки является объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка.

Рассмотрим составную элементарную ячейку FCC. Найдите примитивную элементарную ячейку FCC; т.е. элементарная ячейка с одной точкой решетки. Теперь возьмем за начало координат одну из вершин примитивной элементарной ячейки. Приведите базисные векторы реальной решетки. Затем по известным формулам можно вычислить базисные векторы обратной решетки. Эти векторы обратной решетки FCC представляют собой базисные векторы реальной решетки BCC. Обратите внимание, что базисные векторы реальной решетки ОЦК и обратной решетки ГЦК похожи друг на друга по направлению, но не по величине.

Объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка [ править ]

Обратной решеткой ОЦК- решетки является ГЦК- решетка.

Можно легко доказать, что только решетки Браве с углом между ними 90 градусов (кубический, тетрагональный, ромбический) имеют векторы , параллельные своим векторам в реальном пространстве.${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

Простая шестиугольная решетка [ править ]

Обратный к простой гексагональной решетке Бравы с решеткой константой с и другим простым гексагональной решеткой с постоянными решетками и повернута на 30 ° вокруг оси с относительно прямой решетки. Поэтому простая гексагональная решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. векторы a 1 = (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j; a 2 = - (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j ve a 3 = ak${\displaystyle \textstyle {\frac {2\pi }{c}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {4\pi }{a{\sqrt {3}}}}}$

Произвольный набор атомов [ править ]

Один путь к обратной решетке произвольного набора атомов происходит из идеи рассеянных волн в пределе Фраунгофера (дальнего расстояния или задней фокальной плоскости линзы) как суммы амплитуд в стиле Гюйгенса от всех точек рассеяния (в этот случай от каждого отдельного атома). ^[2] Эта сумма обозначается комплексной амплитудой F в приведенном ниже уравнении, потому что это также преобразование Фурье (как функция пространственной частоты или обратного расстояния) эффективного потенциала рассеяния в прямом пространстве:

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

Здесь g = q / (2π) - вектор рассеяния q в единицах кристаллографа, N - число атомов, f _j [ g ] - атомный коэффициент рассеяния для атома j и вектор рассеяния g , а r _j - положение вектора атом j. Обратите внимание, что фаза Фурье зависит от выбора начала координат.

Для частного случая бесконечного периодического кристалла амплитуда рассеяния F = MF _hkl от M элементарных ячеек (как и в приведенных выше случаях) оказывается ненулевой только для целых значений , где${\displaystyle (hkl)}$

${\displaystyle F_{hkl}=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{hkl}\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+lw_{j}\right)}}$

когда j = 1, m атомов внутри элементарной ячейки, дробные индексы решетки которых равны соответственно {u _j , v _j , w _j }. Конечно, чтобы учесть эффекты, связанные с конечным размером кристалла, вместо этого следует использовать свертку формы для каждой точки или приведенное выше уравнение для конечной решетки.

Независимо от того, является ли массив атомов конечным или бесконечным, можно также представить себе "обратную решетку интенсивности" I [ g ], которая связана с решеткой амплитуд F через обычное соотношение I = F ^* F, где F ^* - комплексное сопряжение F Поскольку преобразование Фурье обратимо, конечно, этот акт преобразования в интенсивность отбрасывает «всю информацию, кроме 2-го момента» (то есть фазы). Таким образом, для случая произвольного набора атомов обратная решетка интенсивности имеет вид:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{jk}}.}$

Здесь r _jk - векторное расстояние между атомом j и атомом k. Это также можно использовать для прогнозирования влияния формы нанокристаллита и тонких изменений ориентации луча на обнаруженные дифракционные пики, даже если в некоторых направлениях толщина кластера составляет всего один атом. С другой стороны, расчеты рассеяния с использованием обратной решетки в основном учитывают падающую плоскую волну. Таким образом, после первого взгляда на эффекты обратной решетки (кинематического рассеяния), уширение луча и эффекты многократного рассеяния (т.е. динамические ) также могут быть важны для рассмотрения.

Обобщение двойственной решетки [ править ]

Есть на самом деле две версии в математике абстрактной двойной решетки концепции, для данной решетки L в реальном векторном пространстве V , в конечной размерности .

Первый, который непосредственно обобщает конструкцию обратной решетки, использует анализ Фурье . Это можно выразить просто в терминах двойственности Понтрягина . Двойственная группа V ^ к V снова вещественное векторное пространство, а ее замкнутая подгруппа L ^ , сопряженное к L оказывается решетка в V ^. Следовательно, L ^ - естественный кандидат на двойственную решетку в другом векторном пространстве (той же размерности).

Другой аспект проявляется в наличии квадратичной формы Q на V ; если оно невырожденное оно позволяет идентифицировать сопряженное пространство V ^* из V с V . Отношение V ^* к V не является внутренним; это зависит от выбора меры Хаара (элемент объема) на V . Но учитывая отождествление этих двух, которое в любом случае хорошо определено с точностью до скаляра , присутствие Q позволяет говорить с двойственной решеткой к L , оставаясь в пределахВ .

В математике , то двойная решетка данной решетки L в абелевой локально компактной топологической группе G есть подгруппа L ^* из двойной группы из G , состоящая из всех непрерывных символов, которые равны единице в каждой точке L .

В дискретной математике решетка - это локально дискретный набор точек, описываемый всеми целыми линейными комбинациями dim = n линейно независимых векторов в R ⁿ . Двойная решетка затем определяется всеми точками в линейной оболочке исходной решетки (обычно все из R ^ n) со свойством, что целое число является результатом внутреннего произведения со всеми элементами исходной решетки. Отсюда следует, что двойственная к двойственной решетке - это исходная решетка.

Кроме того, если мы позволим матрице B иметь столбцы в качестве линейно независимых векторов, описывающих решетку, то матрица

${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$имеет столбцы векторов, описывающих двойственную решетку.

См. Также [ править ]

• Кристаллография
• Двойная основа
• Сфера Эвальда
• Индекс Миллера
• Порошковая дифракция
• Линия Кикучи
• Зона Бриллюэна
• Ось зоны

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме дифракции .

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - Симулятор дифракции электронов на основе Jmol позволяет исследовать пересечение обратной решетки и сферы Эвальда во время наклона.
• Пакет преподавания и обучения DoITPoMS по взаимному пространству и взаимной решетке
• Легко изучите кристаллографию и узнайте, как обратная решетка объясняет явление дифракции, как показано в главах 4 и 5.