Уравнения Лауэ

Уравнение Лауэ

В кристаллографии , что уравнения Лауэ относятся входящие волны к исходящему волн в процессе дифракции на кристаллической решетке . Они названы в честь физика Макса фон Лауэ (1879–1960). Они сводятся к закону Брэгга .

Уравнения Лауэ [ править ]

Пусть - примитивные векторы кристаллической решетки , атомы которых расположены в точках , являющихся целочисленными линейными комбинациями примитивных векторов.${\ Displaystyle \ mathbf {а} \ ,, \ mathbf {b} \ ,, \ mathbf {c}}$${\ displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$

Пусть будет волновым вектором входящего (падающего) луча, и пусть будет волновым вектором выходящего (дифрагированного) луча. Затем вектор называется вектором рассеяния (также называемым переданным волновым вектором) и измеряет изменение между двумя волновыми векторами.${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {\Delta k} }$

Три условия, которым должен удовлетворять вектор рассеяния , называемые уравнениями Лауэ , следующие: числа, определяемые уравнениями${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$${\displaystyle h,k,l}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {\Delta k} =2\pi h}$

${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {\Delta k} =2\pi k}$

${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {\Delta k} =2\pi l}$

должны быть целыми числами . Каждый выбор целых чисел , называемых индексами Миллера , определяет вектор рассеяния . Следовательно, существует бесконечно много векторов рассеяния, удовлетворяющих уравнениям Лауэ. Они образуют решетку , называемую обратной решеткой кристаллической решетки. Это условие позволяет одиночному падающему лучу дифрагировать в бесконечном множестве направлений. Однако лучи, соответствующие высоким индексам Миллера, очень слабые и не наблюдаются. Этих уравнений достаточно, чтобы найти основу обратной решетки, по которой можно определить кристаллическую решетку. Это принцип рентгеновской кристаллографии .${\displaystyle (h,k,l)}$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} }$${\displaystyle L^{*}}$

Математический вывод [ править ]

Падающий и дифрагированный пучки представляют собой возбуждения плоских волн.

${\displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} )}$

${\displaystyle f_{\mathrm {out} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} ).}$

поля, которое для простоты мы принимаем за скаляр, хотя основной интерес представляет собой электромагнитное поле, которое является векторным.

Две волны распространяются в пространстве независимо, за исключением точек решетки, где они резонируют с осцилляторами, поэтому их фазы должны совпадать. ^[1] Следовательно, для каждой точки решетки имеем ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} )=\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} ),}$

или, что то же самое, мы должны иметь

${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +2\pi n,}$

для некоторого целого числа , которое зависит от точки . Упрощая, получаем${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =(\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} })\cdot \mathbf {x} =2\pi n.}$

Теперь достаточно проверить, что это условие выполняется на примитивных векторах (что в точности то, что говорят уравнения Лауэ), потому что тогда для других точек мы имеем ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {\Delta k} \cdot (p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} )=p\,2\pi h+q\,2\pi k+r\,2\pi l=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n,}$

где целое число .${\displaystyle n}$${\displaystyle hp+kq+lr}$

Это гарантирует, что если уравнения Лауэ выполнены, то входящая и выходящая волна имеют одинаковую фазу во всех точках кристаллической решетки, поэтому колебания атомов, следующие за входящей волной, могут одновременно генерировать выходящую волну. .

Связь с законом Брэгга [ править ]

Если - вектор обратной решетки , мы знаем по определению базисных векторов обратной решетки, что , где - целое число (мы используем определение вектора обратной решетки, которое дает множитель ). Но обратите внимание, что это не что иное, как уравнения Лауэ. Следовательно, мы отождествляем , это иногда называют условием Лауэ. В некотором смысле дифракционные картины - это способ экспериментального измерения обратной решетки.${\displaystyle \mathbf {G} =h\mathbf {A} +k\mathbf {B} +l\mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {G} \cdot (p\mathbf {a} +q\mathbf {b} +r\mathbf {c} )=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }=\mathbf {G} }$

Переписываем условие Лауэ: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}:\mathbf {G} &=\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\\|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {G} |^{2}\\|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}&=|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}-2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} +|\mathbf {G} |^{2}\end{aligned}}}$

Применяя условие упругого рассеяния к приведенному выше уравнению, получаем:${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|^{2}=|\mathbf {k} _{\mathrm {in} }|^{2}}$

${\displaystyle 2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}}$.

По сути, условие Лауэ - это сохранение импульса и следствие очень общего утверждения о том, что импульс кристалла сохраняется только до вектора обратной решетки, в то время как условие упругости - это сохранение энергии, переносимой рентгеновскими лучами (т. Е. кристалл не получает энергии от рассеянного излучения).

Результатом является уравнение плоскости (геометрии) . Вектор определяет набор плоскостей Брэгга в обратном пространстве, перпендикулярном ему. Обратите внимание, что это подразумевает соответствующий набор плоскостей Брэгга в реальном пространстве, то есть целочисленные решения уравнения для целых коэффициентов и порядка . Векторы , и образуют равнобедренный треугольник. Это означает, что рентгеновские лучи, по-видимому, «отражаются» от этих плоскостей под тем же углом, что и угол их приближения (по отношению к плоскости). ${\displaystyle \;2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle p,q,r}$${\displaystyle (hp+kq+lr)=n}$${\displaystyle h,k,l}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {in} }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \theta }$

Поскольку угол между и равен , это означает, что . Ясно, что . Если постоянная решетки равна , то ; это потому, что по определению мы требуем , и, более того, мы можем выбрать набор плоскостей Брэгга в реальном пространстве с межплоскостным разделением и без потери общности выбрать параллельно . С их помощью мы восстанавливаем закон Брэгга :${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \pi /2-\theta }$${\displaystyle \mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta }$${\displaystyle |\mathbf {k} _{\mathrm {out} }|=2\pi /\lambda }$${\displaystyle d}$${\displaystyle |\mathbf {G} |=2\pi n/d}$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {x} =2\pi n}$${\displaystyle |\mathbf {x} |=d}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {G} =|\mathbf {G} |^{2}\\2|\mathbf {k} _{\mathrm {out} }||\mathbf {G} |\sin \theta =|\mathbf {G} |^{2}\\2(2\pi /\lambda )(2\pi n/d)\sin \theta =(2\pi n/d)^{2}\\2d\sin \theta =n\lambda .\end{aligned}}}$

Ссылки [ править ]

• Киттель, К. (1976). Введение в физику твердого тела , Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-49024-5

Примечания