Примитивная ячейка

В геометрии , биологии , минералогии и физике твердого тела , А примитивная ячейка представляет собой единичный элемент , соответствующий одной решетки точке структуры с дискретной трансляционной симметрии . Это понятие используется, в частности, при описании кристаллической структуры в двух и трех измерениях, хотя имеет смысл во всех измерениях. Решетка может быть охарактеризована геометрией ее примитивной ячейки.

В некоторых случаях полная симметрия кристаллической структуры не очевидна из примитивной элементарной ячейки, и в этих случаях может использоваться обычная ячейка . Обычная ячейка (которая может быть или не быть примитивной) представляет собой наименьшую элементарную ячейку, оси которой следуют за осями симметрии кристаллической структуры. Объем обычной ячейки всегда является целым кратным (обычно 1, 2, 3 или 4) объему элементарной ячейки. ^[1]

Примитивная клетка - это примитивное место . Примитивная единица - это часть мозаики (обычно параллелограмм или набор соседних плиток), которая генерирует всю мозаику, используя только трансляции, и является настолько маленькой, насколько это возможно.

Примитивная ячейка является фундаментальной областью только в отношении трансляционной симметрии. В случае дополнительных симметрий фундаментальная область меньше.

Обзор [ править ]

Кристалл можно классифицировать по его решетке и атомам , которые лежат в примитивной ячейке ( базис ). Ячейка заполнит все пространство решетки, не оставляя зазоров за счет повторения операций трансляции кристалла.

По определению примитивная ячейка должна содержать ровно одну и только одну точку решетки. Для элементарных ячеек обычно точки решетки, общие для $n$ ячеек, считаются как1/ $п$ узлов решетки, содержащихся в каждой из этих ячеек; так, например, примитивная элементарная ячейка в трех измерениях, которая имеет точки решетки только в восьми вершинах, считается содержащей1/8каждого из них. ^[2] Альтернативная концепция состоит в том, чтобы последовательно выбрать только одну из $n$ точек решетки, которая принадлежит данной элементарной ячейке (так, чтобы другие $1-n$ точек решетки принадлежали соседним элементарным ячейкам).

Два измерения [ править ]

Параллелограмм является общей примитивной ячейкой для самолета.

Двухмерная примитивная ячейка - это параллелограмм , который в особых случаях может иметь ортогональные углы, равные длины или и то, и другое.

	Обычные примитивные клетки			Нетрадиционные примитивные клетки

Имя формы	Параллелограмм	Прямоугольник	Квадрат	Ромб
Решетка Браве	Примитивная моноклиника	Примитивный орторомбический	Примитивный тетрагональный	Центрированный орторомбический

Три измерения [ править ]

Параллелепипеда является общей примитивной ячейкой для 3-мерного пространства.

Примитивный перевод векторов $а \to 1$ , $а \to 2$ , $а \to 3$ промежуток решетка ячейки наименьшего объема для конкретной трехмерной решетке, и используются для определения вектора кристалла перевода

{\ displaystyle {\ vec {T}} = u_ {1} {\ vec {a}} _ {1} + u_ {2} {\ vec {a}} _ {2} + u_ {3} {\ vec {a}} _ {3},}

где $u 1$ , $u 2$ , $u 3$ - целые числа, сдвиг на которые оставляет решетку инвариантной. ^{[примечание 1]} То есть для точки в решетке $r$ расположение точек из $r ' = r + T \to$ выглядит таким же, как и из $r$ . ^[3]

Поскольку примитивная ячейка определяется примитивными осями (векторами) $a \to 1$ , $a \to 2$ , $a \to 3$ , объем $V p$ примитивной ячейки задается параллелепипедом из указанных выше осей как

{\ displaystyle V _ {\ mathrm {p}} = \ left | {\ vec {a}} _ {1} \ cdot ({\ vec {a}} _ {2} \ times {\ vec {a}} _ {3}) \ right |.}

Для любой трехмерной решетки вы можете найти примитивные ячейки, которые являются параллелепипедами , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы или равные длины, или и то, и другое. Хотя это и не требуется математически, по соглашению обычно определяют примитивную ячейку параллелепипеда так, чтобы на каждом углу была точка решетки. Когда точки решетки находятся на углу, каждая точка решетки используется совместно с восемью разными примитивными ячейками, поэтому каждая точка решетки будет вносить только 1/8 точки решетки в каждую из этих ячеек. Однако существует восемь углов, поэтому на каждую ячейку по-прежнему приходится одна точка решетки, как того требует определение. Некоторые из четырнадцати трехмерных решеток Браве представлены с помощью таких примитивных ячеек параллелепипеда, как показано ниже.

Обычная примитивная ячейка
Имя формы	Параллелепипед	Косая прямоугольная призма	Прямоугольный кубоид	Квадратный кубоид	Тригональный трапецоэдр	Куб
Решетка Браве	Примитивная триклиника	Примитивная моноклиника	Примитивный орторомбический	Примитивный тетрагональный	Первобытный ромбоэдр	Примитивный кубический

Другие решетки Браве также имеют примитивные ячейки в форме параллелепипеда, но для облегчения различения на основе симметрии они представлены обычными ячейками, которые содержат более одной точки решетки.

Примитивная ячейка
Имя формы	Косая ромбическая призма	Правая ромбическая призма
Обычная ячейка
Решетка Браве	Базоцентрированная моноклиника	Орторомбическая с центром в основании

Ячейка Вигнера – Зейтца [ править ]

В качестве альтернативы элементарной ячейке для каждой решетки Браве существует другой вид примитивной ячейки, называемой ячейкой Вигнера – Зейтца . В ячейке Вигнера – Зейтца точка решетки находится в центре ячейки, и для большинства решеток Бравэ форма не является параллелограммом или параллелепипедом. Это разновидность ячейки Вороного . Ячейка Вигнера – Зейтца обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна .

См. Также [ править ]

Ячейка Вигнера – Зейтца
Решетка Браве
Группа обоев
Космическая группа

Заметки [ править ]

^ В $n$ измерениях вектор трансляции кристалла будет
${\ displaystyle {\ vec {T}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} {\ vec {a}} _ {i}, \ quad {\ mbox {where}} u_ { i} \ in \ mathbb {Z} \ quad \ forall i.}$
То есть для точки решетки $r$ расположение точек из $r ' = r + T \to$ выглядит таким же, как и из $r$ .

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Ashcroft, Neil W. (1976). Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 73. ISBN 0-03-083993-9.
^ "DoITPoMS - Кристаллография библиотеки TLP - Элементарная ячейка" . Учебные ресурсы по материаловедению в Интернете: DoITPoMS . Кембриджский университет . Проверено 21 февраля 2015 года .
^ Киттель, Чарльз. Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Вайли. п. 4 . ISBN 978-0-471-41526-8.

[first-3] В $n$ измерениях вектор трансляции кристалла будет
${\ displaystyle {\ vec {T}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} {\ vec {a}} _ {i}, \ quad {\ mbox {where}} u_ { i} \ in \ mathbb {Z} \ quad \ forall i.}$
То есть для точки решетки $r$ расположение точек из $r ' = r + T \to$ выглядит таким же, как и из $r$ .

[1] Перейти ↑ Ashcroft, Neil W. (1976). Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 73. ISBN 0-03-083993-9.

[doitpoms-2] "DoITPoMS - Кристаллография библиотеки TLP - Элементарная ячейка" . Учебные ресурсы по материаловедению в Интернете: DoITPoMS . Кембриджский университет . Проверено 21 февраля 2015 года .

[4] Киттель, Чарльз. Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Вайли. п. 4 . ISBN 978-0-471-41526-8.

[1]