Ячейка Вигнера – Зейтца

Вигнер-Зейтец , названный в честь Eugene Вигнера и Зейца , является примитивной клеткой , которая была построена путем применения разложения Вороного в кристаллической решетку . Он используется при изучении кристаллических материалов в физике твердого тела .

Примитивная ячейка Вигнера – Зейтца для решеток параллелограммов с разными углами.

Уникальное свойство кристалла состоит в том, что его атомы расположены в виде регулярного трехмерного массива, называемого решеткой . Все свойства, приписываемые кристаллическим материалам, проистекают из этой высокоупорядоченной структуры. Такая структура демонстрирует дискретную трансляционную симметрию . Чтобы смоделировать и изучить такую ​​периодическую систему, нужна математическая «ручка», чтобы описать симметрию и, следовательно, сделать выводы о свойствах материала, вытекающих из этой симметрии. Ячейка Вигнера – Зейтца является средством достижения этого.

Ячейка Вигнера – Зейтца является примером примитивной ячейки , которая представляет собой элементарную ячейку, содержащую ровно одну точку решетки. Для любой данной решетки существует бесконечное количество возможных примитивных ячеек. Однако для любой заданной решетки существует только одна ячейка Вигнера – Зейтца. Это геометрическое место точек в пространстве, которые ближе к этой точке решетки, чем к любой из других точек решетки.

Ячейка Вигнера – Зейтца, как и любая примитивная ячейка, является фундаментальной областью дискретной трансляционной симметрии решетки. Примитивная ячейка обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна .

Обзор [ править ]

Фон [ править ]

Концепция разложения Вороного была исследована Петером Густавом Леженом Дирихле , что привело к названию области Дирихле . Дополнительный вклад внесли Евграф Федоров ( параллелоэдр Федорова ), Георгий Вороной ( многогранник Вороного ) ^{[1] [2]} и Пол Ниггли ( Wirkungsbereich ). ^[3]

Приложение к физике конденсированного состояния было впервые предложено Юджином Вигнером и Фредериком Зейтцем в статье 1933 года, где оно использовалось для решения уравнения Шредингера для свободных электронов в элементарном натрии . ^[4] Они аппроксимировали форму ячейки Вигнера – Зейтца в натрии, которая представляет собой усеченный октаэдр, как сферу равного объема, и решили уравнение Шредингера точно, используя периодические граничные условия , которые требуются на поверхности сферы. Аналогичный расчет, который также учитывал несферическую природу ячейки Вигнера – Зейтца, был проведен позже Джоном С. Слейтером . ^[5]${\ displaystyle d \ psi / dr = 0}$

Есть только пять топологически различных многогранников, которые покрывают трехмерное пространство , ℝ ³ . Они называются параллелоэдрами . Они представляют математический интерес, например, в высших измерениях. ^[6] Эти пять паралеллоэдров могут быть использованы для классификации трехмерных решеток с использованием концепции проективной плоскости, предложенной Джоном Хортоном Конвеем и Нилом Слоаном . ^[7] Однако, в то время как топологическая классификация рассматривает любое аффинное преобразование как ведущее к одному и тому же классу, более конкретная классификация приводит к 24 различным классам многогранников Вороного с параллельными ребрами, которые образуют плитку.^[3] Например, прямоугольный кубоид , правая квадратная призма и куб принадлежат к одному топологическому классу, но отличаются разным соотношением сторон. Эта классификация 24 типов многогранников Вороного для решеток Браве была впервые предложена Борисом Делоне . ^[8]

Определение [ править ]

Ячейка Вигнера – Зейтца вокруг точки решетки определяется как геометрическое место точек в пространстве, которые находятся ближе к этой точке решетки, чем к любой из других точек решетки. ^[9]

Математически можно показать, что ячейка Вигнера – Зейтца является примитивной ячейкой . Это означает, что ячейка охватывает все прямое пространство, не оставляя зазоров или отверстий, свойство, известное как тесселяция .

Построение ячейки [ править ]

Общая математическая концепция, воплощенная в ячейке Вигнера – Зейтца, чаще называется ячейкой Вороного , а разбиение плоскости на эти ячейки для данного набора точечных узлов известно как диаграмма Вороного .

Ячейку можно выбрать, сначала выбрав точку решетки . После выбора точки ко всем ближайшим точкам решетки проводятся линии. В средней точке каждой линии проводится другая линия, перпендикулярная каждой из первых линий.

В случае трехмерной решетки перпендикулярная плоскость проводится в средней точке линий между точками решетки. При использовании этого метода наименьшая площадь (или объем) заключена таким образом и называется примитивной ячейкой Вигнера – Зейтца . Вся область (или пространство) внутри решетки будет заполнено примитивной ячейкой этого типа и не будет оставлять зазоров.

Соседние точки решетки постоянно исследуются до тех пор, пока ограниченная площадь или объем не станет правильной площадью или объемом для примитивной ячейки . В качестве альтернативы, если базисные векторы решетки сокращаются с использованием сокращения решетки, необходимо использовать только заданное количество точек решетки. ^[10] В двух измерениях необходимо использовать только точки решетки, которые составляют 4 элементарные ячейки, имеющие общую вершину с началом координат. В трехмерном пространстве должны использоваться только точки решетки, составляющие 8 элементарных ячеек, имеющих общую вершину с началом координат.

Ячейка Вигнера-Зейтца примитивной кубической решетки является кубом . В математике это известно как кубические соты .

Ячейка Вигнера – Зейтца объемно -центрированной кубической решетки представляет собой усеченный октаэдр . [9] В математике это известно как кубические соты с усеченными битами .

Ячейка Вигнера – Зейтца гранецентрированной кубической решетки представляет собой ромбический додекаэдр . [9] В математике это известно как ромбические додекаэдрические соты .

Ячейка Вигнера – Зейтца объемно -центрированной тетрагональной решетки, имеющей постоянные решетки с, является удлиненным додекаэдром .${\ displaystyle c / a> {\ sqrt {2}}}$

Ячейка Вигнера – Зейтца примитивной гексагональной решетки является гексагональной призмой . В математике это известно как шестиугольные призматические соты .

Форма ячейки Вигнера – Зейтца для любой решетки Браве имеет форму одного из 24 многогранников Вороного. ^{[3] [11]} Для определения дополнительных ограничений, являются параметрами элементарной ячейки и являются базисными векторами.${\ displaystyle a, b, c, \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1}, {\ vec {a}} _ {2}, {\ vec {a}} _ {3}, {\ vec {a}} _ {4} }$

		Топологический класс (аффинный эквивалентный параллелоэдр )
		Усеченный октаэдр	Удлиненный додекаэдр	Ромбический додекаэдр	Шестиугольная призма	Куб
Решетка Браве	Примитивная кубическая					Любой
	Гранецентрированная кубическая			Любой
	Телоцентрированный кубический	Любой
	Примитивный шестиугольник				Любой
	Первобытный ромбоэдр	${\ displaystyle \ alpha> 90 ^ {\ circ}}$		${\ Displaystyle \ альфа <90 ^ {\ circ}}$
	Первобытный четырехугольник					Любой
	Телоцентрированный тетрагональный	${\ displaystyle c / a <{\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle c / a> {\ sqrt {2}}}$
	Примитивный ромбический					Любой
	Орторомбическая с центром в основании				Любой
	Орторомбическая гранецентрированная	Любой
	Телоцентрированный ромбический	${\ displaystyle c ^ {2} <a ^ {2} + b ^ {2}}$	${\displaystyle c^{2}>a^{2}+b^{2}}$	${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$
	Примитивная моноклиника				Любой
	Базоцентрированная моноклиника	${\displaystyle a<b}$	${\displaystyle a>b}$, ${\displaystyle a^{2}-b^{2}>2ac\cos {\beta }}$	${\displaystyle a>b}$, ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=2ac\cos {\beta }}$
		${\displaystyle a>b}$, ${\displaystyle a^{2}-b^{2}<2ac\cos {\beta }}$	${\displaystyle a=b}$
	Примитивная триклиника	${\displaystyle {\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j}\neq 0}$ ${\displaystyle i,j\in \{1,2,3,4\}}$ где ${\displaystyle i\neq j}$	${\displaystyle {\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j}=0}$ один раз	${\displaystyle {\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j}=0={\vec {a}}_{k}\cdot {\vec {a}}_{l}}$ ${\displaystyle i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}}$ где ${\displaystyle i\neq j\neq k\neq l}$

Композитные решетки [ править ]

Для составных решеток (кристаллов, которые имеют более одного вектора в своей основе ) каждая отдельная точка решетки представляет собой несколько атомов. Мы можем разбить каждую ячейку Вигнера – Зейтца на подъячейки путем дальнейшего разложения Вороного по ближайшему атому, а не по ближайшей точке решетки. ^[12] Например, кристаллическая структура алмаза содержит двухатомную основу. В алмазе атомы углерода имеют tetraheral зр 3 склеивание , но так как тетраэдры не плитка пространство , разложение Вороного алмаза кристаллической структуры на самом деле тройнозубые акулы усеченная четырехгранная сот . ^[13]Другой пример - применение разложения Вороного к атомам в фазах A15 , которое образует полиэдрическое приближение структуры Вейра – Фелана .

Симметрия [ править ]

Ячейка Вигнера – Зейтца всегда имеет ту же точечную симметрию, что и основная решетка Браве . ^[9] Например, куб , усеченный октаэдр и ромбический додекаэдр имеют точечную симметрию O _h , поскольку соответствующие решетки Браве, используемые для их создания, принадлежат системе кубической решетки , которая имеет точечную симметрию O _h .

Зона Бриллюэна [ править ]

На практике сама ячейка Вигнера – Зейтца на самом деле редко используется для описания прямого пространства , вместо этого обычно используются обычные элементарные ячейки . Однако такое же разложение чрезвычайно важно применительно к обратному пространству . Ячейка Вигнера – Зейтца в обратном пространстве называется зоной Бриллюэна , которая содержит информацию о том, будет ли материал проводником , полупроводником или изолятором .

См. Также [ править ]

• Триангуляция Делоне
• Координационная геометрия
• Теория кристаллического поля

Ссылки [ править ]