Волновой вектор

В физике , волновой вектор (также пишется волновой вектор ) представляет собой вектор , который помогает описать волну . Как и любой вектор, у него есть величина и направление , которые важны. Его величина - это либо волновое число, либо угловое волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление обычно является направлением распространения волны (но не всегда, см. Ниже ).

В контексте специальной теории относительности волновой вектор также можно определить как четырехвектор .

Определения [ править ]

Длина волна синусоидальной волны , Х , может быть измерена между любыми двумя последовательными точками с одной и той же фазой , например, между соседними гребнями или впадинами, или смежными переходами через нуль с тем же направлением транзита, как показано на рисунке.

Есть два общих определения волнового вектора, которые различаются по величине в 2π раз. Одно определение предпочтительнее в физике и родственных областях, в то время как другое определение предпочтительнее в кристаллографии и родственных областях. ^[1] В этой статье они будут называться «определение физики» и «определение кристаллографии» соответственно.

В обоих определениях, приведенных ниже, величина волнового вектора представлена как ; направление волнового вектора обсуждается в следующем разделе. ${\ displaystyle k}$

Определение физики [ править ]

Совершенная одномерная бегущая волна подчиняется уравнению:

{\ Displaystyle \ пси (х, т) = А \ соз (кх- \ омега т + \ varphi)}

куда:

x - позиция,
т время,
${\ displaystyle \ psi}$ (функция х и т ) является нарушением , описывающее волны (например, для волны океана , будет избыток высоты воды, или для звуковой волны , будет избыточное давление воздуха ). ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$
A - амплитуда волны (максимальная амплитуда колебаний),
${\ displaystyle \ varphi}$ является фазовый сдвиг , описывающая , как две волны могут быть синхронизированы друг с другом,
${\ displaystyle \ omega}$ - временная угловая частота волны, описывающая, сколько колебаний она совершает за единицу времени, и связанная с периодом уравнением , ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi / T}$
${\ displaystyle k}$ - пространственная угловая частота ( волновое число ) волны, описывающая, сколько колебаний она совершает на единицу пространства, и связанная с длиной волны уравнением . ${\ Displaystyle к = 2 \ пи / \ лямбда}$

${\ displaystyle k}$ - величина волнового вектора. В этом одномерном примере направление волнового вектора тривиально: эта волна распространяется в направлении + x со скоростью (точнее, фазовой скоростью ) . В многомерной системе скаляр будет заменен векторным скалярным произведением , представляющим волновой вектор и вектор положения соответственно. ${\ displaystyle \ omega / k}$ ${\ displaystyle kx}$ ${\ Displaystyle {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}}}$

Определение кристаллографии [ править ]

В кристаллографии одни и те же волны описываются немного разными уравнениями. ^[2] В одном и трех измерениях соответственно:

{\ Displaystyle \ psi (х, t) = A \ соз (2 \ пи (kx- \ nu t) + \ varphi)}

{\ displaystyle \ psi \ left ({\ mathbf {r}}, t \ right) = A \ cos \ left (2 \ pi ({\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ nu t) + \ varphi \ right)}

Различия между двумя приведенными выше определениями заключаются в следующем:

Угловая частота используется в определении физики, а частота используется в определении кристаллографии. Они связаны между собой . Эта замена не важна для данной статьи, но отражает общепринятую практику кристаллографии. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle 2 \ пи \ ню = \ омега}$
Волновое число и волновой вектор k определяются по-разному: в приведенном выше определении физики, а в определении кристаллографии ниже . ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle к = | {\ mathbf {k}} | = 2 \ пи / \ лямбда}$ $k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda$

Направление k обсуждается в следующем разделе .

Направление волнового вектора [ править ]

Направление, в котором указывает волновой вектор, необходимо отличать от «направления распространения волны ». «Направление распространения волны» - это направление потока энергии волны и направление, в котором будет двигаться небольшой волновой пакет , то есть направление групповой скорости . Для световых волн это также направление вектора Пойнтинга . С другой стороны, волновой вектор указывает в направлении фазовой скорости . Другими словами, волновой вектор направлен по нормали к поверхностям с постоянной фазой , также называемым волновыми фронтами .

В изотропной среде без потерь, такой как воздух, любой газ, любая жидкость, аморфные твердые тела (например, стекло ) и кубические кристаллы, направление волнового вектора точно такое же, как и направление распространения волны. Если среда анизотропна, волновой вектор в целом указывает в направлениях, отличных от направления распространения волны. Условие для того, чтобы волновой вектор указывал в том же направлении, в котором распространяется волна, состоит в том, что волна должна быть однородной, что не обязательно выполняется, когда среда является анизотропной. В однородномволны поверхности постоянной фазы также являются поверхностями постоянной амплитуды. В случае неоднородных волн эти два вида поверхностей различаются по ориентации. Волновой вектор всегда перпендикулярен поверхностям постоянной фазы.

Например, когда волна проходит через анизотропную среду , например световые волны через асимметричный кристалл или звуковые волны через осадочную породу , волновой вектор может указывать не точно в направлении распространения волны. ^[3]^[4]

В физике твердого тела [ править ]

В физике твердого тела «волновой вектор» (также называемый k-вектором ) электрона или дырки в кристалле является волновым вектором его квантово-механической волновой функции . Эти электронные волны не являются обычными синусоидальными волнами, но у них есть своего рода функция огибающей, которая является синусоидальной, а волновой вектор определяется через эту огибающую волну, обычно с использованием «физического определения». Подробнее см . Теорему Блоха . ^[5]

В специальной теории относительности [ править ]

Движущуюся волновую поверхность в специальной теории относительности можно рассматривать как гиперповерхность (трехмерное подпространство) в пространстве-времени, образованную всеми событиями, прошедшими через волновую поверхность. Цепь волн (обозначаемая некоторой переменной X) можно рассматривать как однопараметрическое семейство таких гиперповерхностей в пространстве-времени. Эта переменная X является скалярной функцией положения в пространстве-времени. Производная этого скаляра - это вектор, который характеризует волну, четырехволновой вектор. ^[6]

Четырехволновой вектор - это четырехволновой волновой вектор, который определяется в координатах Минковского как:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

где угловая частота - это временная составляющая, а вектор волнового числа - пространственная составляющая. ${\frac {\omega }{c}}$ ${\vec {k}}$

Альтернативно, волновое число можно записать как угловую частоту, деленную на фазовую скорость , или через обратный период и обратную длину волны . $k$ $\omega$ $v_{p}$ $T$ $\lambda$

В явном виде его контравариантная и ковариантная формы следующие:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,

K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\,

В общем, скалярная величина Лоренца волнового четырехвектора равна:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\ =\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

Четырехволновой вектор равен нулю для безмассовых (фотонных) частиц, где масса покоя $m_{o}=0$

Примером нулевого четырехволнового вектора может быть пучок когерентного монохроматического света, который имеет фазовую скорость $v_{p}=c$

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

{для подобного свету / null}

который имел бы следующее соотношение между частотой и величиной пространственной части четырехволнового вектора:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\ =0

{для подобного свету / null}

Четырехволновой вектор связан с четырехмерным импульсом следующим образом:

P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)

Четырехволновой вектор связан с четырехчастотным следующим образом:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)(\nu ,\nu {\vec {n}})

Четырехволновой вектор связан с четырехмерной скоростью следующим образом:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma (c,{\vec {u}})

Преобразование Лоренца [ править ]

Принимая преобразование Лоренца из четырех-волнового вектора является одним из способов для получения релятивистского эффекта Доплера . Матрица Лоренца определяется как

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

В ситуации, когда свет излучается быстро движущимся источником и кто-то хотел бы знать частоту света, обнаруженного в земном (лабораторном) кадре, мы применили бы преобразование Лоренца следующим образом. Обратите внимание, что источник находится в кадре S ^s, а Земля - в кадре наблюдения S ^obs . Применяя преобразование Лоренца к волновому вектору

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,

и выбрав просто посмотреть на компонент, вы получите $\mu =0$

k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,

${\frac {\omega _{s}}{c}}\,$	$=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,$
	$\quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\,$ где - направляющий косинус wrt $\cos \theta \,$ $k^{1}$ $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$

Так

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\,

Источник удаляется (красное смещение) [ править ]

В качестве примера, чтобы применить это к ситуации, когда источник движется прямо от наблюдателя ( ), это выглядит следующим образом: $\theta =\pi$

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,

Источник движется в сторону (синее смещение) [ править ]

Чтобы применить это к ситуации, когда источник движется прямо к наблюдателю ( ), это становится: $\theta =0$

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,

Источник движется по касательной (поперечный эффект Доплера) [ править ]

Чтобы применить это к ситуации, когда источник движется поперек наблюдателя ( ), это становится: $\theta =\pi /2$

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}\,

См. Также [ править ]

Расширение плоской волны
Самолет падения

Ссылки [ править ]

^ Пример определения физики: Харрис, Бененсон, Стёкер (2002). Справочник по физике . п. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.CS1 maint: multiple names: authors list (link). Пример определения кристаллографии: Vaĭnshten (1994). Современная кристаллография . п. 259. ISBN. 978-3-540-56558-1.
^ Вайнштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография . п. 259. ISBN. 978-3-540-56558-1.
^ Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.
^ "Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...", Звук волны в твердых телах , Поллард, 1977. ссылка
^ Дональд Х. Мензель (1960). «§10.5 Волна Блоха» . Фундаментальные формулы физики, том 2 (Перепечатка Прентис-Холла, 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ISBN 978-0486605968.
↑ Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 60–65 . ISBN 978-0-19-853952-0.

Дальнейшее чтение [ править ]

Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-514665-3.

[1] Пример определения физики: Харрис, Бененсон, Стёкер (2002). Справочник по физике . п. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.CS1 maint: multiple names: authors list (link). Пример определения кристаллографии: Vaĭnshten (1994). Современная кристаллография . п. 259. ISBN. 978-3-540-56558-1.

[2] Вайнштейн, Борис Константинович (1994). Современная кристаллография . п. 259. ISBN. 978-3-540-56558-1.

[fowles-3] Фаулз, Грант (1968). Введение в современную оптику . Холт, Райнхарт и Уинстон. п. 177.

[pollard-4] "Этот эффект был объяснен Масгрейвом (1959), который показал, что энергия упругой волны в анизотропной среде, как правило, не будет распространяться по тому же пути, что и нормаль к плоскому волновому фронту ...", Звук волны в твердых телах , Поллард, 1977. ссылка

[5] Дональд Х. Мензель (1960). «§10.5 Волна Блоха» . Фундаментальные формулы физики, том 2 (Перепечатка Прентис-Холла, 1955, 2-е изд.). Курьер-Дувр. п. 624. ISBN 978-0486605968.

[6] Вольфганг Риндлер (1991). «§24 Волновое движение». Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. С. 60–65 . ISBN 978-0-19-853952-0.

[1]