Вейвлет Морле

Вейвлет Морле с действительным знаком

Комплекснозначный вейвлет Морле

В математике , то вейвлет Морло (или Габор вейвлет ) ^[1] является вейвлет состоит из комплексного экспоненциального ( носителя ) , умноженный на гауссовом окно (огибающий). Этот вейвлет тесно связан с человеческим восприятием, как со слухом ^{[2], так} и со зрением. ^[3]

История [ править ]

В 1946 году физик Деннис Габор , применяя идеи квантовой физики , представил использование синусоид с гауссовым окном для частотно-временного разложения, которые он назвал атомами и которые обеспечивают наилучший компромисс между пространственным и частотным разрешением. ^[1] Они используются в преобразовании Габора , типе кратковременного преобразования Фурье . ^[2] В 1984 году Жан Морле представил работу Габора сообществу сейсмологов и вместе с Гупийо и Гроссманном модифицировал ее, чтобы сохранить ту же форму вейвлета на равных интервалах октавы, что привело к первой формализации непрерывного вейвлет-преобразования .^[4] (См. Также историю вейвлетов )

Определение [ править ]

Вейвлет определяется как константа, вычитаемая из плоской волны и затем локализованная окном Гаусса : ^[5]${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$

${\displaystyle \Psi _{\sigma }(t)=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa _{\sigma })}$

где определяется критерием допустимости, а нормировочная постоянная равна:${\displaystyle \kappa _{\sigma }=e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$${\displaystyle c_{\sigma }}$

${\displaystyle c_{\sigma }=\left(1+e^{-\sigma ^{2}}-2e^{-{\frac {3}{4}}\sigma ^{2}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

Преобразование Фурье вейвлета Морле:

${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left(e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma -\omega )^{2}}-\kappa _{\sigma }e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}\right)}$

«Центральная частота» - это положение глобального максимума, которого в данном случае дает положительное решение:${\displaystyle \omega _{\Psi }}$${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )}$

${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma {\frac {1}{1-e^{-\sigma \omega _{\Psi }}}}}$^{[ необходима цитата ]}

которое может быть решено итерацией с фиксированной точкой, начиная с ( итерации с фиксированной точкой сходятся к единственному положительному решению для любого начального значения ) ^{[ необходима цитата ]} . ${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma }$${\displaystyle \omega _{\Psi }>0}$

Параметр в вейвлете Морле позволяет менять разрешение по времени и частоте. Обычно ограничение используется, чтобы избежать проблем с вейвлетом Морле при низком (высоком временном разрешении) ^{[ необходима ссылка ]} .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma >5}$${\displaystyle \sigma }$

Для сигналов, содержащих только медленно изменяющиеся частотные и амплитудные модуляции (например, аудио), нет необходимости использовать небольшие значения . В этом случае он становится очень маленьким (например ), и поэтому им часто пренебрегают. При ограничении частота вейвлета Морле обычно принимается равной ^{[ цитата ]} .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$${\displaystyle \sigma >5\quad \Rightarrow \quad \kappa _{\sigma }<10^{-5}\,}$${\displaystyle \sigma >5}$${\displaystyle \omega _{\Psi }\simeq \sigma }$

Вейвлет существует как сложная версия или версия с чисто действительным знаком. Некоторые проводят различие между «настоящим Морле» и «сложным Морле». ^[6] Другие считают, что комплексная версия - это «вейвлет Габора», а версия с действительным знаком - «вейвлет Морле». ^{[7] [8]}

Использует [ редактировать ]

Использование в медицине [ править ]

Представленный метод вейвлет-преобразования Морле предлагает интуитивно понятный мост между частотной и временной информацией, который может прояснить интерпретацию сложных спектров травм головы, полученных с помощью преобразования Фурье . Вейвлет-преобразование Морле, однако, не предназначено для замены преобразования Фурье, а скорее как дополнение, позволяющее получить качественный доступ к изменениям, связанным со временем, и использовать преимущества множества измерений, доступных в анализе затухания свободной индукции . ^[9]

Применение вейвлет-анализа Морле также используется для определения аномального поведения сердцебиения на электрокардиограмме (ЭКГ). Поскольку изменение аномального сердцебиения является нестационарным сигналом, этот сигнал подходит для анализа на основе вейвлетов.

Использование в музыке [ править ]

К транскрипции музыки применяется метод вейвлет-преобразования Морле. Он дает очень точные результаты, которые были невозможны с использованием методов преобразования Фурье. Вейвлет-преобразование Морле способно захватывать короткие серии повторяющихся и чередующихся музыкальных нот с четким временем начала и окончания для каждой ноты. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• Constant-Q преобразование
• Вейвлет Габора

Ссылки [ править ]

• П. Гупийо, А. Гроссман и Ж. Морле. Цикл-октава и связанные преобразования в анализе сейсмических сигналов . Георазведка, 23: 85-102, 1984
• Н. Дельпра, Б. Эскудье, П. Гиймен, Р. Кронланд-Мартине, П. Чамитчиан и Б. Торресани. Асимптотический вейвлет и анализ Габора: извлечение мгновенных частот. IEEE Trans. Инф. Th., 38: 644-664, 1992.