Кратковременное преобразование Фурье

Короткое время преобразования Фурье ( КК ), представляет собой Фурье-преобразование связанным используются для определения частоты синусоидального и фазового содержания локальных сечений сигнала , как он меняется с течением времени. ^[1] На практике процедура вычисления STFT состоит в том, чтобы разделить более длинный временной сигнал на более короткие сегменты равной длины и затем вычислить преобразование Фурье отдельно для каждого более короткого сегмента. Это показывает спектр Фурье на каждом более коротком отрезке. Затем обычно строят график изменяющихся спектров как функцию времени, известный как спектрограмма или график водопада, например, обычно используемый в программно-определяемом радио.на основе спектральных дисплеев. Дисплеи с полной полосой пропускания, охватывающие весь диапазон SDR, обычно используют БПФ с 2 ^ 24 точками на настольных компьютерах.

Пример кратковременного преобразования Фурье, используемого для определения времени воздействия звукового сигнала

Вперед STFT [ править ]

STFT с непрерывным временем [ править ]

Просто в случае непрерывного времени преобразуемая функция умножается на оконную функцию, которая не равна нулю только в течение короткого периода времени. Преобразование Фурье (одномерная функция) результирующего сигнала берется, когда окно перемещается по оси времени, что приводит к двумерному представлению сигнала. Математически это записывается как:

{\ displaystyle \ mathbf {STFT} \ {x (t) \} (\ tau, \ omega) \ Equiv X (\ tau, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t ) w (t- \ tau) e ^ {- i \ omega t} \, dt}

где - оконная функция , обычно окно Ханна или окно Гаусса с центром вокруг нуля, и - сигнал, который нужно преобразовать (обратите внимание на разницу между оконной функцией и частотой ). по существу преобразование Фурье , в комплексной функции , представляющей фазу и амплитуду сигнала по времени и частоте. Часто разворачивание фазы используется либо по оси времени, либо по оси частоты, либо по обеим осям , чтобы подавить скачкообразный скачок результата фазы STFT. Временной индекс обычно считается " медленным". ${\ Displaystyle ш (\ тау)}$ ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle Икс (\ тау, \ омега)}$ $x(t)w(t-\tau )$ $\tau$ $\omega$ $\tau$ "время и обычно не выражается в таком высоком разрешении, как время . $t$

Дискретное время STFT [ править ]

В случае дискретного времени данные, подлежащие преобразованию, могут быть разбиты на фрагменты или кадры (которые обычно перекрывают друг друга, чтобы уменьшить артефакты на границе). Каждый фрагмент подвергается преобразованию Фурье , а комплексный результат добавляется в матрицу, в которой записываются величина и фаза для каждого момента времени и частоты. Это можно выразить как:

\mathbf {STFT} \{x[n]\}(m,\omega )\equiv X(m,\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]w[n-m]e^{-j\omega n}

аналогично с сигналом x [ n ] и окном w [ n ]. В этом случае m дискретно, а ω непрерывно, но в большинстве типичных приложений STFT выполняется на компьютере с использованием быстрого преобразования Фурье , поэтому обе переменные дискретны и квантованы .

Величина квадрата из STFT дает спектрограммы представление спектральной плотности мощности функции:

\operatorname {spectrogram} \{x(t)\}(\tau ,\omega )\equiv |X(\tau ,\omega )|^{2}

См. Также модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT), которое также является преобразованием Фурье, использующим перекрывающиеся окна.

Скользящий ДПФ [ править ]

Если требуется только небольшое количество ω или если требуется оценивать STFT для каждого сдвига m окна, то можно более эффективно оценивать STFT, используя алгоритм скользящего DFT . ^[2]

Обратный STFT [ править ]

STFT является обратимым , то есть исходный сигнал может быть восстановлен из преобразования с помощью обратного STFT. Наиболее распространенным способом инвертирования STFT является использование метода сложения с перекрытием (OLA) , который также позволяет вносить изменения в комплексный спектр STFT. Это создает универсальный метод обработки сигналов ^[3], называемый методом перекрытия и добавления с модификациями .

STFT с непрерывным временем [ править ]

Учитывая ширину и определение оконной функции w ( t ), мы изначально требуем, чтобы область оконной функции была масштабирована так, чтобы

\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )\,d\tau =1.

Отсюда легко следует, что

\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )\,d\tau =1\quad \forall \ t

и

x(t)=x(t)\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,d\tau .

Непрерывное преобразование Фурье есть

X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}\,dt.

Подставляя x ( t ) сверху:

X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,d\tau \right]\,e^{-j\omega t}\,dt

=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-j\omega t}\,d\tau \,dt.

Порядок смены мест интеграции:

X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-j\omega t}\,dt\,d\tau

=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-j\omega t}\,dt\right]\,d\tau

=\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )\,d\tau .

Таким образом, преобразование Фурье можно рассматривать как своего рода фазовую когерентную сумму всех STFT x ( t ). Поскольку обратное преобразование Фурье имеет вид

x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{+j\omega t}\,d\omega ,

то x ( t ) восстанавливается по X (τ, ω) как

x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+j\omega t}\,d\tau \,d\omega .

или же

x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+j\omega t}\,d\omega \right]\,d\tau .

Сравнивая с вышеизложенным, можно видеть, что оконная "зернистость" или "вейвлет" x ( t ) является

x(t)w(t-\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+j\omega t}\,d\omega .

обратное преобразование Фурье X (τ, ω) при фиксированном τ.

Проблемы с решением [ править ]

Одна из ловушек STFT заключается в том, что он имеет фиксированное разрешение. Ширина оконной функции связана с тем, как представлен сигнал - она определяет, имеется ли хорошее разрешение по частоте (можно разделить близкие друг к другу частотные компоненты) или хорошее разрешение по времени (время изменения частот). Широкое окно дает лучшее разрешение по частоте, но плохое разрешение по времени. Более узкое окно дает хорошее временное разрешение, но плохое частотное разрешение. Это называется узкополосным и широкополосным преобразованием соответственно.

Сравнение разрешения STFT. Левая сторона имеет лучшее разрешение по времени, а правая - лучшее разрешение по частоте.

Это одна из причин создания вейвлет-преобразования и анализа с множественным разрешением, которые могут дать хорошее временное разрешение для высокочастотных событий и хорошее частотное разрешение для низкочастотных событий, комбинация, которая лучше всего подходит для многих реальных сигналов.

Это свойство связано с принципом неопределенности Гейзенберга , но не напрямую - см. Предел Габора для обсуждения. Произведение стандартного отклонения по времени и частоте ограничено. Граница принципа неопределенности (наилучшее одновременное разрешение обоих) достигается с помощью оконной функции Гаусса, поскольку Гауссиан минимизирует принцип неопределенности Фурье . Это называется преобразованием Габора (и с модификациями для множественного разрешения становится вейвлет- преобразованием Морле ).

Можно рассматривать STFT для изменения размера окна как двумерную область (время и частота), как показано в примере ниже, который можно вычислить, варьируя размер окна. Однако это уже не строго частотно-временное представление - ядро не является постоянным по всему сигналу.

Пример [ править ]

Используя следующий пример сигнала, который состоит из набора четырех синусоидальных сигналов, соединенных последовательно. Каждая форма волны состоит только из одной из четырех частот (10, 25, 50, 100 Гц ). Определение : $x(t)$ $x(t)$

x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi 10t)&0\,\mathrm {s} \leq t<5\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 25t)&5\,\mathrm {s} \leq t<10\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 50t)&10\,\mathrm {s} \leq t<15\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 100t)&15\,\mathrm {s} \leq t<20\,\mathrm {s} \\\end{cases}}

Затем он дискретизируется с частотой 400 Гц. Были получены следующие спектрограммы:

Окно 25 мс	Окно 125 мс
Окно 375 мс	Окно 1000 мс

Окно 25 мс позволяет нам определить точное время изменения сигналов, но точные частоты определить трудно. На другом конце шкалы окно 1000 мс позволяет точно видеть частоты, но время между изменениями частоты размывается.

Объяснение [ править ]

Это также можно объяснить со ссылкой на частоту дискретизации и Найквиста .

Возьмите окно из N выборок из произвольного сигнала с действительным знаком с частотой дискретизации f _s . В результате преобразования Фурье получается N комплексных коэффициентов. Из этих коэффициентов полезна только половина (последний N / 2 является комплексно-сопряженным с первым N / 2 в обратном порядке, поскольку это действительный сигнал).

Эти коэффициенты N / 2 представляют частоты от 0 до f _s / 2 (Найквиста), а два последовательных коэффициента отстоят друг от друга на f _s / N Гц.

Чтобы увеличить частотное разрешение окна, необходимо уменьшить частотный интервал коэффициентов. Есть только две переменные, но уменьшение f _s (и сохранение N постоянным) приведет к увеличению размера окна - так как теперь меньше выборок в единицу времени. Другой альтернативой является увеличение N , но это снова приводит к увеличению размера окна. Таким образом, любая попытка увеличить разрешение по частоте приводит к увеличению размера окна и, следовательно, к снижению разрешения по времени - и наоборот.

Частота Рэлея [ править ]

Поскольку частота Найквиста является ограничением максимальной частоты, которая может быть осмысленно проанализирована, так и частота Рэлея является ограничением минимальной частоты.

Частота Рэлея - это минимальная частота, которую можно разрешить с помощью временного окна конечной длительности. ^[4]^[5]

Учитывая временное окно длительностью секунды, минимальная частота, которую можно разрешить, составляет 1 / Τ Гц.

Частота Рэлея является важным фактором при применении кратковременного преобразования Фурье (STFT), а также любого другого метода гармонического анализа сигнала конечной длины записи. ^[6]^[7]

Заявление [ править ]

STFT, используемый для анализа аудиосигнала во времени

STFT, а также стандартные преобразования Фурье и другие инструменты часто используются для анализа музыки. Спектрограмма может, например, показать частоты на горизонтальной оси, с самыми низкими частотами по левой стороне , и самым высокая справа. Высота каждой полосы (дополненной цветом) представляет собой амплитуду частот в этой полосе. Измерение глубины представляет время, когда каждая новая полоса была отдельным отдельным преобразованием. Аудиоинженеры используют этот вид визуализации для получения информации об аудиосэмпле, например, для определения частот определенных шумов (особенно при использовании с более высоким частотным разрешением) или для поиска частот, которые могут быть более или менее резонансными в пространстве, где сигнал был записан. Эта информация может использоваться для выравнивания или настройка других звуковых эффектов.

Реализация [ править ]

Исходная функция

X(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau

Преобразование в дискретную форму:

t=n\Delta _{t},f=m\Delta _{f},\tau =p\Delta _{t}

X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\sum _{-\infty }^{\infty }w((n-p)\Delta _{t})x(p\Delta _{t})e^{-j2\pi pm\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}

Предположим, что

w(t)\cong 0{\text{ for }}|t|>B,{\frac {B}{\Delta _{t}}}=Q

Затем мы можем записать исходную функцию в

X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\sum _{p=n-Q}^{n+Q}w((n-p)\Delta _{t})x(p\Delta _{t})e^{-j2\pi pm\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}

Прямая реализация [ править ]

Ограничения [ править ]

а. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

\Delta _{t}<{\frac {1}{2\Omega }}

, где - полоса пропускания

\Omega

x(\tau )w(t-\tau )

Метод на основе БПФ [ править ]

Ограничение [ править ]

а. , где - целое число $\Delta _{t}\Delta _{f}={\tfrac {1}{N}}$ $N$

б. $N\geq 2Q+1$

c. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

\Delta _{t}<{\frac {1}{2\Omega }}

, - полоса пропускания

\Omega

x(\tau )w(t-\tau )

X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\sum _{p=n-Q}^{n+Q}w((n-p)\Delta _{t})x(p\Delta _{t})e^{-{\frac {2\pi jpm}{N}}}\Delta _{t}

{\text{if we have }}q=p-(n-Q),{\text{ then }}p=(n-Q)+q

X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\Delta _{t}e^{\frac {2\pi j(Q-n)m}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}x_{1}(q)e^{-{\frac {2\pi jqm}{N}}}

{\text{where }}x_{1}(q)={\begin{cases}w((Q-q)\Delta _{t})x((n-Q+q)\Delta _{t})&0\leq q\leq 2Q\\0&2Q<q<N\end{cases}}

Рекурсивный метод [ править ]

Ограничение [ править ]

а. , где - целое число $\Delta _{t}\Delta _{f}={\tfrac {1}{N}}$ $N$

б. $N\geq 2Q+1$

c. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

\Delta _{t}<{\frac {1}{2\Omega }}

, - полоса пропускания

\Omega

x(\tau )w(t-\tau )

d. Только для реализации прямоугольного STFT

Прямоугольное окно накладывает ограничение

w((n-p)\Delta _{t})=1

Замена дает:

{\begin{aligned}X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})&=\sum _{p=n-Q}^{n+Q}w((n-p)\Delta _{t})&x(p\Delta _{t})e^{-{\frac {j2\pi pm}{N}}}\Delta _{t}\\&=\sum _{p=n-Q}^{n+Q}&x(p\Delta _{t})e^{-{\frac {j2\pi pm}{N}}}\Delta _{t}\\\end{aligned}}

Замена переменной $n -1$ на $n$ :

X((n-1)\Delta _{t},m\Delta _{f})=\sum _{p=n-1-Q}^{n-1+Q}x(p\Delta _{t})e^{-{\frac {j2\pi pm}{N}}}\Delta _{t}

Вычислить с помощью N- точечного БПФ: $X(\min {n}\Delta _{t},m\Delta _{f})$

X(n_{0}\Delta _{t},m\Delta _{f})=\Delta _{t}e^{\frac {j2\pi (Q-n_{0})m}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}x_{1}(q)e^{-j{\frac {2\pi qm}{N}}},\qquad n_{0}=\min {(n)}

куда

x_{1}(q)={\begin{cases}x((n-Q+q)\Delta _{t})&q\leq 2Q\\0&q>2Q\end{cases}}

Применяя рекурсивную формулу для вычисления $X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})$

X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=X((n-1)\Delta _{t},m\Delta _{f})-x((n-Q-1)\Delta _{t})e^{-{\frac {j2\pi (n-Q-1)m}{N}}}\Delta _{t}+x((n+Q)\Delta _{t})e^{-{\frac {j2\pi (n+Q)m}{N}}}\Delta _{t}

Преобразование Chirp Z [ править ]

Ограничение [ править ]

\exp {(-j2\pi pm\Delta _{t}\Delta _{f})}=\exp {(-j\pi p^{2}\Delta _{t}\Delta _{f})}\cdot \exp {(j\pi (p-m)^{2}\Delta _{t}\Delta _{f})}\cdot \exp {(-j\pi m^{2}\Delta _{t}\Delta _{f})}

так

X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\Delta _{t}\sum _{p=n-Q}^{n+Q}w((n-p)\Delta _{t})x(p\Delta _{t})e^{-j2\pi pm\Delta _{t}\Delta _{f}}

X(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=\Delta _{t}e^{-j2\pi m^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}\sum _{p=n-Q}^{n+Q}w((n-p)\Delta _{t})x(p\Delta _{t})e^{-j\pi p^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}e^{j\pi (p-m)^{2}\Delta _{t}\Delta _{f}}

Сравнение реализации [ править ]

Методика	Сложность
Прямая реализация	$O(TFQ)$
На основе БПФ	$O(TN\log _{2}N)$
Рекурсивный	$O(TF)$
Chirp Z преобразование	$O(TN\log _{2}N)$

См. Также [ править ]

Оценка спектральной плотности
Частотно-временной анализ
Частотно-временное представление
Метод переназначения

Другие частотно-временные преобразования:

Функция распределения по форме конуса
Преобразование Constant-Q
Дробное преобразование Фурье
Преобразование Габора
Преобразование Ньюленда
S преобразование
Вейвлет-преобразование
Chirplet преобразование

Ссылки [ править ]

^ Сейдич Э .; Джурович I .; Цзян Дж. (2009). «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений». Цифровая обработка сигналов . 19 (1): 153–183. DOI : 10.1016 / j.dsp.2007.12.004 .
^ Э. Якобсен и Р. Лайонс, Скользящее ДПФ , Журнал обработки сигналов, т. 20, выпуск 2, стр. 74–80 (март 2003 г.).
^ Jont Б. Аллен (июнь 1977). «Кратковременный спектральный анализ, синтез и модификация с помощью дискретного преобразования Фурье». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . АССП-25 (3): 235–238. DOI : 10,1109 / TASSP.1977.1162950 .
^ https://physics.ucsd.edu/neurophysics/publications/Cold%20Spring%20Harb%20Protoc-2014-Kleinfeld-pdb.top081075.pdf
^ «Что означает« заполнение, недостаточное для требуемого разрешения по частоте »? - Панель инструментов FieldTrip» .
^ Zeitler M, Fries P, Gielen S (2008). «Предвзятая конкуренция за счет вариаций амплитуды гамма-колебаний» . J Comput Neurosci . 25 (1): 89–107. DOI : 10.1007 / s10827-007-0066-2 . PMC 2441488 . PMID 18293071 .
^ Wingerden, Marijn ван; Винк, Мартин; Ланкельма, Ян; Пеннарц, Сириэль МА (19 мая 2010 г.). «Фазовая синхронизация тета-диапазона орбитофронтальных нейронов во время ожидания вознаграждения» . Журнал неврологии . 30 (20): 7078–7087. DOI : 10.1523 / JNEUROSCI.3860-09.2010 . ISSN 0270-6474 . PMC 6632657 . PMID 20484650 .

Внешние ссылки [ править ]

DiscreteTFDs - программное обеспечение для вычисления кратковременного преобразования Фурье и других частотно-временных распределений.
Singular Spectral Analysis - MultiTaper Method Toolkit - бесплатная программа для анализа коротких шумных временных рядов.
kSpectra Toolkit для Mac OS X от SpectraWorks
Кратковременное преобразование Фурье с растянутым во времени для частотно-временного анализа сверхширокополосных сигналов
Лицензированный BSD класс Matlab для выполнения STFT и обратного STFT
LTFAT - бесплатный (GPL) набор инструментов Matlab / Octave для работы с кратковременными преобразованиями Фурье и частотно-временным анализом

[1] Сейдич Э .; Джурович I .; Цзян Дж. (2009). «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений». Цифровая обработка сигналов . 19 (1): 153–183. DOI : 10.1016 / j.dsp.2007.12.004 .

[2] Э. Якобсен и Р. Лайонс, Скользящее ДПФ , Журнал обработки сигналов, т. 20, выпуск 2, стр. 74–80 (март 2003 г.).

[3] Jont Б. Аллен (июнь 1977). «Кратковременный спектральный анализ, синтез и модификация с помощью дискретного преобразования Фурье». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . АССП-25 (3): 235–238. DOI : 10,1109 / TASSP.1977.1162950 .

[4] ttps://physics.ucsd.edu/neurophysics/publications/Cold%20Spring%20Harb%20Protoc-2014-Kleinfeld-pdb.top081075.pdf

[5] «Что означает« заполнение, недостаточное для требуемого разрешения по частоте »? - Панель инструментов FieldTrip» .

[6] Zeitler M, Fries P, Gielen S (2008). «Предвзятая конкуренция за счет вариаций амплитуды гамма-колебаний» . J Comput Neurosci . 25 (1): 89–107. DOI : 10.1007 / s10827-007-0066-2 . PMC 2441488 . PMID 18293071 .

[7] Wingerden, Marijn ван; Винк, Мартин; Ланкельма, Ян; Пеннарц, Сириэль МА (19 мая 2010 г.). «Фазовая синхронизация тета-диапазона орбитофронтальных нейронов во время ожидания вознаграждения» . Журнал неврологии . 30 (20): 7078–7087. DOI : 10.1523 / JNEUROSCI.3860-09.2010 . ISSN 0270-6474 . PMC 6632657 . PMID 20484650 .

[1]