Мгновенная фаза и частота

Мгновенная фаза и частота являются важными понятиями в обработке сигналов, которые возникают в контексте представления и анализа изменяющихся во времени функций. ^[1] мгновенная фаза (также известная как локальная фаза или просто фазы ) от комплекснозначной функции , сек ( т ), является вещественной функцией:

{\ Displaystyle \ varphi (t) = \ arg \ {s (t) \},}

где arg - функция комплексного аргумента . Мгновенная частота является временной скоростью мгновенной фазы.

А для вещественной функции s ( т ), определяются из функции в аналитическом представлении , S _а ( т ): ^[2]

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ varphi (t) & = \ arg \ {s _ {\ mathrm {a}} (t) \} \\ [4pt] & = \ arg \ {s (t) + j {\ hat {s}} (t) \}. \ end {align}}}

Когда φ ( t ) ограничивается своим главным значением , либо интервалом (- $π$ , $π$ ], либо [0, 2 $π$ ), это называется свернутой фазой . В противном случае это называется развернутой фазой , которая является непрерывной функцией аргумента t , предполагая, что s _a ( t ) является непрерывной функцией t . Если не указано иное, следует предполагать непрерывную форму.

Мгновенная фаза в зависимости от времени.

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

{\ Displaystyle s (т) = А \ соз (\ омега т + \ тета),}

где ω > 0.

{\ displaystyle s _ {\ mathrm {a}} (t) = Ae ^ {j (\ omega t + \ theta)},}

{\ displaystyle \ varphi (t) = \ omega t + \ theta.}

В этом простом синусоидальном примере постоянная θ также обычно называется фазовым или фазовым сдвигом . φ ( t ) - функция времени; θ нет. В следующем примере мы также видим, что фазовый сдвиг синусоиды с действительным знаком неоднозначен, если не указана ссылка (sin или cos). φ ( t ) определяется однозначно.

Пример 2 [ править ]

{\ Displaystyle s (т) = А \ грех (\ омега т) = А \ соз (\ омега т- \ пи / 2),}

где ω > 0.

{\ displaystyle s _ {\ mathrm {a}} (t) = Ae ^ {j (\ omega t- \ pi / 2)},}

{\ displaystyle \ varphi (t) = \ omega t- \ pi / 2.}

В обоих примерах локальные максимумы с ( т ) соответствуют ф ( т ) = 2 $π$ N для целочисленных значений N . Это имеет приложения в области компьютерного зрения.

Мгновенная частота [ править ]

Мгновенная угловая частота определяется как:

{\ displaystyle \ omega (t) = {\ frac {d \ varphi (t)} {dt}},}

а мгновенная (обычная) частота определяется как:

{\begin{aligned}f(t)&={\tfrac {1}{2\pi }}\omega (t)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\end{aligned}}

где φ ( t ) должен быть развернутым мгновенным фазовым углом. Если φ ( t ) свернут, разрывы в φ ( t ) приведут к дельта- импульсам Дирака в f ( t ).

Обратная операция, которая всегда разворачивает фазу, это:

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}

Эта мгновенная частота, ω ( т ), может быть получена непосредственно из действительных и мнимых частей от й ( т ), вместо сложного арг , не заботясь о фазовом разворачивании.

{\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} (\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\},\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\})+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}

2 m ₁ $π$ и m ₂ $π$ - целые числа, кратные $π, которые$ необходимо добавить, чтобы развернуть фазу. При значениях времени t , когда целое число m ₂ не меняется , производная φ ( t ) равна

{\begin{aligned}\omega (t)&={\frac {d\varphi (t)}{dt}}\\&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)\\\\&={\frac {1}{1+\left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}}\right)\\\\&={\frac {\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}-\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}}{(\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\})^{2}+(\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\})^{2}}}\\\\&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left(\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}-\Im \{s_{\mathrm {a} }(t)\}{\frac {d\Re \{s_{\mathrm {a} }(t)\}}{dt}}\right)\\&={\frac {1}{(s(t))^{2}+(({\hat {s}}(t))^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}

Для функций с дискретным временем это можно записать как рекурсию:

\varphi [n]=\varphi [n-1]+\omega [n]=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}.

Затем разрывы могут быть устранены путем добавления 2 $π,$ если Δ φ [ n ] ≤ - $π$ , и вычитания 2 $π,$ если Δ φ [ n ]> $π$ . Это позволяет φ [ n ] накапливаться без ограничений и дает развернутую мгновенную фазу. Эквивалентная формулировка, в которой операция по модулю 2 $π$ заменяется комплексным умножением:

\varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},

где звездочка означает комплексное сопряжение. Мгновенная частота дискретного времени (в радианах на выборку) - это просто сдвиг фазы для этой выборки.

\omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.

Сложное представление [ править ]

В некоторых приложениях, например при усреднении значений фазы в несколько моментов времени, может быть полезно преобразовать каждое значение в комплексное число или векторное представление: ^[3]

{\begin{aligned}e^{i\varphi (t)}&={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}\\[4pt]&=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).\end{aligned}}

Это представление похоже на представление обернутой фазы в том, что оно не различает кратные 2 $π$ в фазе, но похоже на представление развернутой фазы, поскольку оно непрерывно. Среднюю векторную фазу можно получить как аргумент суммы комплексных чисел, не обращая внимания на циклический переход.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Sejdic, E .; Джурович, И .; Станкович, Л. (август 2008 г.). "Количественный анализ характеристик скалограммы как мгновенного оценщика частоты". Транзакции IEEE по обработке сигналов . 56 (8): 3837–3845. DOI : 10.1109 / TSP.2008.924856 . ISSN 1053-587X .
^ Блэкледж, Джонатан М. (2006). Цифровая обработка сигналов: математические и вычислительные методы, разработка программного обеспечения и приложения (2-е изд.). Издательство Вудхед. п. 134. ISBN 1904275265.
^ Ван, С. (2014). «Улучшенный метод фазовой распаковки с контролем качества и его применение в МРТ» . Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма . 145 : 273–286. DOI : 10.2528 / PIER14021005 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Коэн, Леон (1995). Частотно-временной анализ . Прентис Холл.
Гранлунд; Кнутссон (1995). Обработка сигналов для компьютерного зрения . Kluwer Academic Publishers.

[1] Sejdic, E .; Джурович, И .; Станкович, Л. (август 2008 г.). "Количественный анализ характеристик скалограммы как мгновенного оценщика частоты". Транзакции IEEE по обработке сигналов . 56 (8): 3837–3845. DOI : 10.1109 / TSP.2008.924856 . ISSN 1053-587X .

[2] Блэкледж, Джонатан М. (2006). Цифровая обработка сигналов: математические и вычислительные методы, разработка программного обеспечения и приложения (2-е изд.). Издательство Вудхед. п. 134. ISBN 1904275265.

[3] Ван, С. (2014). «Улучшенный метод фазовой распаковки с контролем качества и его применение в МРТ» . Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма . 145 : 273–286. DOI : 10.2528 / PIER14021005 .

[1]