Непрерывное вейвлет-преобразование

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Непрерывное вейвлет-преобразование» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июнь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Непрерывное вейвлет- преобразование сигнала пробоя частоты. Использовал симлет с 5 исчезающими моментами.

В математике , то непрерывное вейвлет - преобразование (НВП) является формальным (то есть, нечисленным) инструментом , который обеспечивает сверхполное представление сигнала, позволяя перевод и масштабный параметр вейвлет непрерывно изменяется.

Непрерывное вейвлет-преобразование функции в масштабе (a> 0) и поступательном значении выражается следующим интегралом ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ Displaystyle а \ ин \ mathbb {R ^ {+ *}}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle X_ {w} (a, b) = {\ frac {1} {| a | ^ {1/2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) {\ overline {\ psi}} \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right) \, dt}

где - непрерывная функция как во временной области, так и в частотной области, называемая материнским вейвлетом, а верхняя черта представляет операцию комплексного сопряжения . Основная цель материнского вейвлета - предоставить функцию источника для генерации дочерних вейвлетов, которые являются просто переведенными и масштабированными версиями материнского вейвлета. Чтобы восстановить исходный сигнал , можно использовать первое обратное непрерывное вейвлет-преобразование. ${\ Displaystyle \ psi (т)}$ ${\ Displaystyle х (т)}$

{\ displaystyle x (t) = C _ {\ psi} ^ {- 1} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X_ {w} (a , б) {\ frac {1} {| a | ^ {1/2}}} {\ tilde {\ psi}} \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right) \, db \ { \ frac {da} {а ^ {2}}}}

${\ Displaystyle {\ тильда {\ psi}} (т)}$ является двойной функцией от и ${\ Displaystyle \ psi (т)}$

C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,d\omega

допустимая константа, где шляпа означает оператор преобразования Фурье. Иногда допустимая константа принимает вид ${\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)$

C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,d\omega

Традиционно эта постоянная называется допустимой вейвлет-константой. Всплеск, допустимая константа которого удовлетворяет

0<C_{\psi }<\infty

называется допустимым вейвлетом. Допустимый вейвлет означает это , так что допустимый вейвлет должен интегрироваться до нуля. Чтобы восстановить исходный сигнал , можно использовать второе обратное непрерывное вейвлет-преобразование. ${\hat {\psi }}(0)=0$ $x(t)$

x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ da

Это обратное преобразование предполагает, что вейвлет следует определять как

\psi (t)=w(t)\exp(it)

где окно. Такой определенный вейвлет можно назвать анализирующим вейвлетом, поскольку он допускает частотно-временной анализ. Анализирующий вейвлет не является допустимым. $w(t)$

Коэффициент масштабирования [ править ]

Масштабный коэффициент либо расширяет, либо сжимает сигнал. Когда коэффициент масштабирования относительно низкий, сигнал становится более сжатым, что, в свою очередь, приводит к более подробному результирующему графику. Однако недостатком является то, что низкий коэффициент масштабирования не сохраняется на протяжении всей продолжительности сигнала. С другой стороны, при высоком масштабном коэффициенте сигнал растягивается, что означает, что результирующий график будет представлен менее подробно. Тем не менее, обычно он длится всю продолжительность сигнала. $a$

Свойства непрерывного вейвлет-преобразования [ править ]

По определению, непрерывное вейвлет-преобразование - это свертка последовательности входных данных с набором функций, генерируемых материнским вейвлетом. Свертка может быть вычислена с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Обычно на выходе получается функция с действительным знаком, за исключением тех случаев, когда материнский вейвлет является комплексным. Комплексный материнский вейвлет преобразует непрерывное вейвлет-преобразование в комплексную функцию. Спектр мощности непрерывного вейвлет-преобразования может быть представлен как . $X_{w}(a,b)$ $|X_{w}(a,b)|^{2}$

Приложения вейвлет-преобразования [ править ]

Одно из самых популярных приложений вейвлет-преобразования - сжатие изображений. Преимущество использования вейвлет-кодирования при сжатии изображения заключается в том, что оно обеспечивает значительное улучшение качества изображения при более высоких степенях сжатия по сравнению с традиционными методами. Поскольку вейвлет-преобразование позволяет разложить сложную информацию и шаблоны на элементарные формы, оно обычно используется в акустической обработке и распознавании образов, но также было предложено в качестве мгновенной оценки частоты. ^[1] Кроме того, вейвлет-преобразования могут применяться в следующих областях научных исследований: обнаружение краев и углов, решение уравнений в частных производных, обнаружение переходных процессов, проектирование фильтров, электрокардиограмма.(ЭКГ) анализ, анализ текстуры, анализ деловой информации и анализ походки. ^[2] Вейвлет-преобразования могут также использоваться в анализе данных электроэнцефалографии (ЭЭГ) для выявления эпилептических всплесков, вызванных эпилепсией . ^[3] Вейвлет-преобразование также успешно использовалось для интерпретации временных рядов оползней. ^[4]

Непрерывное волновое преобразование (CWT) очень эффективно при определении коэффициента затухания колебательных сигналов (например, идентификация затухания в динамических системах). CWT также очень устойчив к шумам в сигнале. ^[5]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

А. Гроссманн и Дж. Морле, 1984, Разложение функций Харди на квадратные интегрируемые всплески постоянной формы, Soc. Int. Являюсь. Математика. (SIAM), J. Math. Analys., 15, 723-736.
Линтао Лю и Хоутсе Сюй (2012) «Инверсия и нормализация частотно-временного преобразования» AMIS 6 № 1S стр. 67S-74S.
Стефан Малла , "Вейвлет-тур по обработке сигналов", 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
Дин, Цзянь-Цзюн (2008), Частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование , просмотрено 19 января 2008 г.
Поликар, Роби (2001), Учебное пособие по вейвлетам , просмотрено 19 января 2008 г.
WaveMetrics (2004), Частотно-временной анализ , просмотрено 18 января 2008 г.
Валенс, Клеменс (2004 г.), Действительно дружественное руководство по вейвлетам , просмотрено 18 сентября 2018 г.]
Непрерывное вейвлет-преобразование в системе Mathematica
Левалль, Жак: Непрерывное вейвлет-преобразование ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , просмотрено 6 февраля 2010 г.

^ Sejdic, E .; Джурович, И .; Станкович, Л. (август 2008 г.). "Количественный анализ характеристик скалограммы как мгновенного оценщика частоты". Транзакции IEEE по обработке сигналов . 56 (8): 3837–3845. DOI : 10.1109 / TSP.2008.924856 . ISSN 1053-587X .
^ "Новый метод оценки длины шага с помощью акселерометров сети области тела" , IEEE BioWireless 2011 , стр. 79-82
^ Иранманеш, Саам; Родригес-Вильегас, Эстер (2017). «Аналоговый чип уменьшения данных мощностью 950 нВт для носимых систем ЭЭГ при эпилепсии». Журнал IEEE по твердотельным схемам . 52 (9): 2362–2373. DOI : 10.1109 / JSSC.2017.2720636 . hdl : 10044/1/48764 .
^ Tomás, R .; Ли, З .; Лопес-Санчес, JM; Liu, P .; Синглтон, А. (1 июня 2016 г.). «Использование вейвлет-инструментов для анализа сезонных колебаний данных временных рядов InSAR: пример оползня Хуангтупо» (PDF) . Оползни . 13 (3): 437–450. DOI : 10.1007 / s10346-015-0589-у . ЛВП : 10045/62160 . ISSN 1612-510X .
^ Славик, Дж. И Симоновски, И. и М. Болтезар, Идентификация демпфирования с использованием непрерывного вейвлет-преобразования: применение к реальным данным

[1] Sejdic, E .; Джурович, И .; Станкович, Л. (август 2008 г.). "Количественный анализ характеристик скалограммы как мгновенного оценщика частоты". Транзакции IEEE по обработке сигналов . 56 (8): 3837–3845. DOI : 10.1109 / TSP.2008.924856 . ISSN 1053-587X .

[2] "Новый метод оценки длины шага с помощью акселерометров сети области тела" , IEEE BioWireless 2011 , стр. 79-82

[3] Иранманеш, Саам; Родригес-Вильегас, Эстер (2017). «Аналоговый чип уменьшения данных мощностью 950 нВт для носимых систем ЭЭГ при эпилепсии». Журнал IEEE по твердотельным схемам . 52 (9): 2362–2373. DOI : 10.1109 / JSSC.2017.2720636 . hdl : 10044/1/48764 .

[4] Tomás, R .; Ли, З .; Лопес-Санчес, JM; Liu, P .; Синглтон, А. (1 июня 2016 г.). «Использование вейвлет-инструментов для анализа сезонных колебаний данных временных рядов InSAR: пример оползня Хуангтупо» (PDF) . Оползни . 13 (3): 437–450. DOI : 10.1007 / s10346-015-0589-у . ЛВП : 10045/62160 . ISSN 1612-510X .

[5] Славик, Дж. И Симоновски, И. и М. Болтезар, Идентификация демпфирования с использованием непрерывного вейвлет-преобразования: применение к реальным данным

[1]