Двойной вейвлет

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Двойной вейвлет»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , двойной Вейвлет является двойным к вейвлету . В общем, ряд всплесков, порожденный функцией, интегрируемой с квадратом, будет иметь двойственный ряд в смысле теоремы о представлении Рисса . Однако двойственный ряд, вообще говоря, не может быть представлен функцией, интегрируемой с квадратом.

Определение [ править ]

Для функции , интегрируемой с квадратом , определим ряд следующим образом:${\ Displaystyle \ psi \ в L ^ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ {\ psi _ {jk} \}}$

${\ Displaystyle \ psi _ {jk} (x) = 2 ^ {j / 2} \ psi (2 ^ {j} xk)}$

для целых чисел .${\ displaystyle j, k \ in \ mathbb {Z}}$

Такая функция называется R -функции , если линейная оболочка является плотным в , и если существуют положительные константы A , B с таким образом, что${\ displaystyle \ {\ psi _ {jk} \}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle 0 <А \ Leq B <\ infty}$

${\ displaystyle A \ Vert c_ {jk} \ Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} \ leq {\ bigg \ Vert} \ sum _ {jk = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {jk } \ psi _ {jk} {\ bigg \ Vert} _ {L ^ {2}} ^ {2} \ leq B \ Vert c_ {jk} \ Vert _ {l ^ {2}} ^ {2} \, }$

для всех би-бесконечных квадратичных суммируемых рядов . Здесь обозначает норму суммы квадратов:${\ displaystyle \ {c_ {jk} \}}$${\ Displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {l ^ {2}}}$

${\displaystyle \Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}}$

и обозначает обычную норму на :${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{L^{2}}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx}$

По теореме Рисса о представлении существует единственный дуальный базис такой, что${\displaystyle \psi ^{jk}}$

${\displaystyle \langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}}$

где - дельта Кронекера, а - обычное внутреннее произведение на . В самом деле, существует единственное представление ряда для интегрируемой с квадратом функции f, выраженной в этом базисе:${\displaystyle \delta _{jk}}$${\displaystyle \langle f\vert g\rangle }$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)}$

Если существует такая функция , что${\displaystyle {\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}}$

тогда называется дуальным вейвлетом или вейвлетом, двойственным к ψ . Вообще говоря, для некоторой заданной R -функции ψ двойственной не существует. В частном случае вейвлет называется ортогональным вейвлетом .${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}}$

Пример R -функции без двойника построить несложно. Позвольте быть ортогональным вейвлетом. Затем определим для некоторого комплексного числа z . Несложно показать, что это ψ не имеет дуального всплеска.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)}$

См. Также [ править ]

• Анализ с несколькими разрешениями

Ссылки [ править ]

• Чарльз К. Чуи, Введение в вейвлеты (вейвлет-анализ и его приложения) , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN  0-12-174584-8