S преобразование

S- преобразование как частотно-временное распределение было разработано в 1994 году для анализа геофизических данных.^[1]^[2] Таким образом, S- преобразование является обобщением кратковременного преобразования Фурье (STFT), расширяя непрерывное вейвлет-преобразование и преодолевая некоторые из его недостатков. Во-первых, синусоиды модуляции фиксированы относительно оси времени; это локализует масштабируемые гауссовские расширения и трансляции окна в S- преобразовании. Более того, S- преобразование не имеет перекрестных проблем и дает лучшую четкость сигнала, чем преобразование Габора . Однако Stransform имеет свои недостатки: четкость хуже, чем у функции распределения Вигнера и функции распределения классов Коэна . ^{[ необходима цитата ]}

В 2010 году был изобретен алгоритм быстрого S- преобразования. ^[3]^[4] Он снижает вычислительную сложность с O [N ² · log (N)] до O [N · log (N)] и делает преобразование взаимно однозначным. один, где преобразование имеет то же количество точек, что и исходный сигнал или изображение, по сравнению со сложностью хранения N ² для исходной формулировки. ^[4]^[5] Реализация доступна исследовательскому сообществу по лицензии с открытым исходным кодом . ^[6]

Общая формулировка S-преобразования ^[4] проясняет связь с другими частотно-временными преобразованиями, такими как преобразования Фурье, кратковременные преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. ^[4]

Определение [ править ]

Есть несколько способов представить идею S- преобразования. Здесь S- преобразование выводится как фазовая коррекция непрерывного вейвлет-преобразования с окном, являющимся функцией Гаусса .

S-преобразование

{\ Displaystyle S_ {х} (т, е) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} х (\ тау) | е | е ^ {- \ пи (т- \ тау) ^ {2} f ^ {2}} e ^ {- j2 \ pi f \ tau} \, d \ tau}

Обратное S-преобразование

{\ Displaystyle х (\ тау) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S_ {x} (t, f) \, dt \ right] \, e ^ {j2 \ pi f \ tau} \, df}

Измененная форма [ править ]

Форма спектра

Приведенное выше определение подразумевает, что функция s-преобразования может быть выражена как свертка и . Применение преобразования Фурье к обоим и дает $(x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })$ $(|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})$
$(x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })$ $(|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})$

S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha

.

Дискретное время S-преобразование

Из спектральной формы S-преобразования мы можем вывести S-преобразование с дискретным временем.
Пусть , где - интервал дискретизации, а - частота дискретизации. S-преобразование дискретного времени может быть выражено как: $t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}$ $\Delta _{T}$ $\Delta _{F}$

S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}

Реализация S-преобразования дискретного времени [ править ]

Ниже представлен псевдокод реализации.

 Step1.Compute  $X[p\Delta _{F}]\,$  
 петля{ Шаг 2. Вычислить для Шага 3. Перейти к Шагу 4. Умножить Шаг 2 и Шаг 3 Шаг 5. IDFT ( ). $e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}$  $f=m\Delta _{F}$ 
 $X[p\Delta _{F}]$  $X[(p+m)\Delta _{F}]$ 
 $B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}$ 
 $B[m,p]$  Повторить.}

Сравнение с другими инструментами частотно-временного анализа [ править ]

Сравнение с преобразованием Габора [ править ]

Единственная разница между преобразованием Габора (GT) и S-преобразованием - это размер окна. Для GT размер окна является функцией Гаусса , в то время как оконная функция для S-преобразования является функцией f. Благодаря функции окна, пропорциональной частоте, S Transform хорошо работает в анализе частотной области, когда входная частота низкая. Когда входная частота высока, S-Transform имеет лучшую четкость во временной области. Как в таблице ниже. $(e^{-\pi (t-\tau )^{2}})$

Низкая частота	Плохая четкость во временной области	Хорошая четкость в частотной области
Высокая частота	Плохая четкость в частотной области	Хорошая четкость во временной области

Такое свойство делает S-Transform мощным инструментом для анализа звука, поскольку человек чувствителен к низкочастотной составляющей звукового сигнала.

Сравнение с преобразованием Вигнера [ править ]

Основная проблема с преобразованием Вигнера - это перекрестный член, который проистекает из функции автокорреляции в функции преобразования Вигнера. Этот перекрестный член может вызвать шум и искажения при анализе сигнала. Анализ S-преобразования позволяет избежать этой проблемы.

Сравнение с кратковременным преобразованием Фурье [ править ]

Мы можем сравнить S- преобразование и кратковременное преобразование Фурье (STFT). ^[2]^[7]Сначала в эксперименте используются высокочастотный сигнал, низкочастотный сигнал и высокочастотный импульсный сигнал для сравнения характеристик. S-образная характеристика частотно-зависимого разрешения позволяет обнаруживать высокочастотный всплеск. С другой стороны, поскольку STFT состоит из окна постоянной ширины, это приводит к ухудшению определения результата. Во втором эксперименте к скрещенным чирпам добавляются еще два высокочастотных пакета. В результате все четыре частоты были обнаружены с помощью S-преобразования. С другой стороны, два всплеска высоких частот не обнаруживаются STFT. Перекрестный член всплесков высоких частот заставил STFT иметь единственную частоту на более низкой частоте.

Приложения [ править ]

Фильтрация сигналов ^[8]
Магнитно-резонансная томография (МРТ) ^[9]
Распознавание нарушений в энергосистеме
- Доказано, что S- преобразование способно идентифицировать несколько типов помех, например, провал напряжения, скачок напряжения, кратковременное прерывание и колебательные переходные процессы. ^[10]
- S- преобразование также может применяться для других типов возмущений, таких как зазубрины, гармоники с провисанием и волнами и т. Д.
- S- преобразование создает контуры, подходящие для простого визуального контроля. Однако для вейвлет-преобразования требуются специальные инструменты, такие как стандартный анализ с множественным разрешением .
Анализ геофизических сигналов
- Отражательная сейсмология
- Глобальная сейсмология

См. Также [ править ]

Преобразование Лапласа
Вейвлет-преобразование
Кратковременное преобразование Фурье

Ссылки [ править ]

^ Stockwell, RG; Mansinha, L; Лоу, Р.П. (1996). «Локализация сложного спектра: S-образное преобразование». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 44 (4): 998–1001. CiteSeerX 10.1.1.462.1500 . DOI : 10.1109 / 78.492555 .
^ a b Стоквелл, Р.Г. (1999). S- преобразованный анализ активности гравитационных волн от небольшой сети формирователей изображений свечения атмосферы. Докторская диссертация, Университет Западного Онтарио, Лондон, Онтарио, Канада.
^ Браун, РА; Фрейн, Р. (2008). Быстрое дискретное S-преобразование для обработки биомедицинских сигналов . Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc . 2008 . С. 2586–9. DOI : 10.1109 / IEMBS.2008.4649729 . ISBN 978-1-4244-1814-5. PMID 19163232 .
^ a b c d Браун, Роберт А .; Лаузон, М. Луи; Фрейн, Ричард (январь 2010 г.). «Общее описание линейных частотно-временных преобразований и формулировка быстрого обратимого преобразования, которое без избыточности производит выборку спектра непрерывного S-преобразования». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 58 (1): 281–290. DOI : 10.1109 / tsp.2009.2028972 . ISSN 1053-587X .
^ Келли Сансом, "Fast S Transform", Университет Калгари, https://www.ucalgary.ca/news/utoday/may31-2011/computing
^ http://sourceforge.net/projects/fst-uofc/
^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, "Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений", Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.
^ Ditommaso, R, M Mucciarelli, Ponzo FC (2012). АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СТРУКТУРНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРА С ПЕРЕМЕННОЙ ПОЛОСЫ. Бюллетень сейсмологической инженерии . DOI : 10.1007 / s10518-012-9338-у . См. Также файл MATLAB
^ Хунмей Чжу и Дж. Росс Митчелл, «S-трансформация в медицинской визуализации», Университет Калгари, Центр исследования семейных врачей моряков, Медицинский центр Предгорья, Канада.
^ Пракаш К. Рэй и др. «Определение когерентности в подключенной к сети гибридной системе на основе распределенной генерации в сценариях изолирования» Power and Energy (PECon), Международная конференция IEEE 2010 г. IEEE, 2010, DOI : 10,1109 / PECON.2010.5697562

Рокко Дитоммазо, Феличе Карло Понцо, Джанлука Аулетта (2015). Обнаружение повреждений каркасных конструкций: оценка модальной кривизны с помощью преобразования Стоквелла при сейсмическом возбуждении. Техника землетрясений и инженерная вибрация. Июнь 2015 г., том 14, выпуск 2, стр. 265–274.
Рокко Дитоммазо, Марко Муччарелли, Феличе К. Понцо (2010). Фильтр на основе S-преобразования, применяемый для анализа нелинейного динамического поведения почвы и зданий. 14-я Европейская конференция по сейсмостойкости. Сборник трудов. Охрид, Республика Македония. 30 августа - 3 сентября 2010 г. (загружается с http://roccoditommaso.xoom.it )
М. Муччарелли, М. Бьянка, Р. Дитоммазо, М. Р. Галлиполи, А. Маси, С. Милкерайт, С. Паролаи, М. Пикоцци, М. Вона (2011). ПОВРЕЖДЕНИЯ ДАЛЬНЕГО ПОЛЯ НА ЖЕЛЕЗНЫХ ЗДАНИЯХ: ПРИМЕР НАВЕЛЛИ ВО ВРЕМЯ СЕЙСМИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ L'AQUILA (ИТАЛИЯ), 2009. Бюллетень сейсмостойкости . DOI : 10.1007 / s10518-010-9201-у .
JJ Ding, «Частотно-временной анализ и заметка о курсе вейвлет-преобразования», факультет электротехники, Национальный университет Тайваня (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007.
Джая Бхарата Редди, Душманта Кумар Моханта и Б.М. Каран, «Распознавание нарушений энергосистемы с использованием методов вейвлета и s-преобразования», Технологический институт Бирла, Месра, Ранчи-835215, 2004.
Б. Боашаш, «Заметки об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. на Акуст. Речь. и обработка сигналов, т. 26, вып. 9 августа 1987 г.
RN Bracewell, Преобразование Фурье и его приложения, McGrawHill Book Company, Нью-Йорк, 1978.
Е. О. Бригам, Быстрое преобразование Фурье , Prentice-Hall Inc., Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1974
Коэн, Л. (1989). «Частотно-временные распределения - Обзор». Proc. IEEE . 77 (7): 941–981. CiteSeerX 10.1.1.1026.2853 . DOI : 10.1109 / 5.30749 .
I. Добеши, "Вейвлет-преобразование, частотно-временная локализация и анализ сигналов", IEEE Trans. по теории информации , т. 36, нет. 5 сентября 1990 г.
Фардж, М. (1992). «Вейвлет-преобразования и их применение к турбулентности» . Ежегодный обзор гидромеханики . 24 : 395–457. DOI : 10.1146 / annurev.fluid.24.1.395 .
Д. Габор, "Теория коммуникации", J. Inst. Избрать. Англ., Т. 93, нет. 3. С. 429–457, 1946.
Goupillaud, P .; Гроссманн, А .; Морле, Дж. (1984). «Цикл-октава и связанные с ней преобразования в сейсмическом анализе». Георазведка . 23 : 85–102. DOI : 10.1016 / 0016-7142 (84) 90025-5 .
F. Hlawatsch и GF Boudreuax-Bartels, 1992 "Линейные и квадратичные частотно-временные представления сигналов", IEEE SP Magazine, стр. 21–67
Rioul, O .; Веттерли, М. (1991). «Вейвлеты и обработка сигналов» (PDF) . Журнал IEEE SP . 8 (4): 14–38. DOI : 10.1109 / 79.91217 .
Р. К. Янг, Теория всплесков и ее приложения, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993

[1] Stockwell, RG; Mansinha, L; Лоу, Р.П. (1996). «Локализация сложного спектра: S-образное преобразование». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 44 (4): 998–1001. CiteSeerX 10.1.1.462.1500 . DOI : 10.1109 / 78.492555 .

[Stockwell_PhD-2] Стоквелл, Р.Г. (1999). S- преобразованный анализ активности гравитационных волн от небольшой сети формирователей изображений свечения атмосферы. Докторская диссертация, Университет Западного Онтарио, Лондон, Онтарио, Канада.

[3] Браун, РА; Фрейн, Р. (2008). Быстрое дискретное S-преобразование для обработки биомедицинских сигналов . Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc . 2008 . С. 2586–9. DOI : 10.1109 / IEMBS.2008.4649729 . ISBN 978-1-4244-1814-5. PMID 19163232 .

[:0-4] Браун, Роберт А .; Лаузон, М. Луи; Фрейн, Ричард (январь 2010 г.). «Общее описание линейных частотно-временных преобразований и формулировка быстрого обратимого преобразования, которое без избыточности производит выборку спектра непрерывного S-преобразования». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 58 (1): 281–290. DOI : 10.1109 / tsp.2009.2028972 . ISSN 1053-587X .

[5] Келли Сансом, "Fast S Transform", Университет Калгари, https://www.ucalgary.ca/news/utoday/may31-2011/computing

[6] ttp://sourceforge.net/projects/fst-uofc/

[7] Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, "Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений", Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.

[8] Ditommaso, R, M Mucciarelli, Ponzo FC (2012). АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СТРУКТУРНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРА С ПЕРЕМЕННОЙ ПОЛОСЫ. Бюллетень сейсмологической инженерии . DOI : 10.1007 / s10518-012-9338-у . См. Также файл MATLAB

[9] Хунмей Чжу и Дж. Росс Митчелл, «S-трансформация в медицинской визуализации», Университет Калгари, Центр исследования семейных врачей моряков, Медицинский центр Предгорья, Канада.

[10] Пракаш К. Рэй и др. «Определение когерентности в подключенной к сети гибридной системе на основе распределенной генерации в сценариях изолирования» Power and Energy (PECon), Международная конференция IEEE 2010 г. IEEE, 2010, DOI : 10,1109 / PECON.2010.5697562

[1]