Распределения частотно-временных Билинейные или распределения квадратичные частотно-временные , возникают в суб-области анализа сигналов и обработки сигналов называемой обработки сигналов частотно-временной , и, в статистическом анализе из временных рядов данных. Такие методы используются там, где нужно иметь дело с ситуацией, когда частотный состав сигнала может изменяться со временем; [1] это подполе раньше называлось частотно-временным анализом сигнала, а теперь его чаще называют частотно-временной обработкой сигнала из-за прогресса в использовании этих методов для решения широкого круга задач обработки сигналов.
Задний планМетоды анализа временных рядов, как в анализе сигнала и временный анализ серии , были разработаны как по существу отдельных методик , применимых к, и базируются в, либо время , либо в частотной области . Смешанный подход требуется в методах частотно-временного анализа , которые особенно эффективны при анализе нестационарных сигналов, частотное распределение и величина которых меняются со временем. Примерами являются акустические сигналы. Классы «квадратичных частотно-временных распределений» (или билинейных частотно-временных распределений) используются для анализа частотно-временных сигналов. Этот класс аналогичен по формулировке функции распределения классов Коэна, которая использовалась в 1966 году в контексте квантовой механики. Эта функция распределения математически подобна обобщенному частотно-временному представлению, в котором используются билинейные преобразования. По сравнению с другими методами частотно-временного анализа , такими как кратковременное преобразование Фурье (STFT), билинейное преобразование (или квадратичные частотно-временные распределения) может не иметь большей ясности для большинства практических сигналов, но он обеспечивает альтернативную основу для исследования новых определений и новых методов. Хотя он действительно страдает от присущего ему перекрестного загрязнения при анализе многокомпонентных сигналов, используя тщательно выбранную оконную функцию ( s), помехи могут быть значительно уменьшены за счет разрешения. Все эти билинейные распределения a взаимно конвертируемые друг в друга, ср. преобразование между распределениями в частотно-временном анализе .
Распределение Вигнера – ВилляРаспределение Вигнера – Вилля представляет собой квадратичную форму, которая измеряет локальную частотно-временную энергию, определяемую по формуле:
Распределение Вигнера – Вилля остается реальным, поскольку оно является преобразованием Фурье функции f ( u + τ / 2) · f * ( u - τ / 2), имеющей эрмитову симметрию по τ . Его также можно записать как частотное интегрирование, применив формулу Парсеваля:
- Предложение 1. для любого f из L 2 (R)
- Теорема Мойала. Для f и g в L 2 (R),
- Предложение 2 (частотно-временная поддержка). Если f имеет компактный носитель, то для всех ξ носитель вдоль u равна опоре f . Аналогично, если имеет компактный носитель, то для всех u носитель вдоль ξ равна носителю .
- Предложение 3 (мгновенная частота). Если тогда
Вмешательство
Позволять быть составным сигналом. Затем мы можем написать
где
- кросс-распределение двух сигналов Вигнера – Вилля. Срок вмешательства
это реальная функция, которая создает ненулевые значения в неожиданных местах (близко к исходной точке) в самолет. Члены интерференции, присутствующие в реальном сигнале, можно избежать, вычислив аналитическую часть..
Ядро положительности и сглаживания
Интерференционные члены являются осциллирующими, поскольку маргинальные интегралы обращаются в нуль и могут быть частично удалены сглаживанием с ядром θ
Частотно-временное разрешение этого распределения зависит от разброса ядра θ в окрестности. Поскольку помехи принимают отрицательные значения, можно гарантировать, что все помехи устранены, наложив это
Спектрограмма и скалограмма являются примерами положительного частотно-временного распределения энергии. Пусть линейное преобразование быть определенным над семейством частотно-временных атомов . Для любой существует единственный атом с центром по частоте-времени на . Результирующая частотно-временная плотность энергии равна
Из формулы Мойала,
которое представляет собой частотное усреднение распределения Вигнера – Вилля. Таким образом, сглаживающее ядро можно записать как
Потеря частотно-временного разрешения зависит от разброса распределения в районе .
Пример 1
Спектрограмма, вычисленная с использованием оконных атомов Фурье,
Поэтому для спектрограммы усреднение Вигнера – Вилля представляет собой двумерную свертку с . Если g - гауссово окно,является двумерным гауссовским. Это доказывает, что усреднениес достаточно широким гауссианом определяет положительную плотность энергии. Общий класс частотно-временных распределений, полученных сверткойс произвольным ядром θ называется классом Коэна и обсуждается ниже.
Теорема Вигнера. Не существует положительного квадратичного распределения энергии Pf, которое удовлетворяет следующим маргинальным интегралам по времени и частоте:
Математическое определениеОпределение класса билинейных (или квадратичных) частотно-временных распределений Коэна выглядит следующим образом:
где - функция неоднозначности (AF), о которой будет сказано позже; а также- это функция ядра Коэна , которая часто является функцией нижних частот и обычно служит для маскировки помех. В исходном представлении Вигнера.
Эквивалентное определение основывается на свертке функции распределения Вигнера (WD) вместо AF:
где функция ядра определяется в частотно-временной области вместо области неоднозначности. В исходном представлении Вигнера. Связь между двумя ядрами такая же, как между WD и AF, а именно два последовательных преобразования Фурье (см. Диаграмму).
т.е.
или эквивалентно
Функция неоднозначностиКласс билинейных (или квадратичных) частотно-временных распределений легче всего понять в терминах функции неоднозначности , объяснение которой следует ниже.
Рассмотрим хорошо известную спектральную плотность мощности и функция автокорреляции сигналав случае стационарного процесса. Связь между этими функциями следующая:
Для нестационарного сигнала , Эти отношения могут быть обобщены с помощью зависимого от времени спектральной плотности мощности или , что эквивалентно известную функцию распределения Вигнера из следующим образом:
Если преобразование Фурье автокорреляционной функции выполняется по t вместо τ , мы получаем функцию неоднозначности следующим образом:
Соотношение между функцией распределения Вигнера, функцией автокорреляции и функцией неоднозначности можно проиллюстрировать на следующем рисунке.
Сравнивая определение билинейного (или квадратичного) частотно-временного распределения с определением функции распределения Вигнера, легко обнаружить, что последнее является частным случаем первого с . В качестве альтернативы, билинейные (или квадратичные) частотно-временные распределения можно рассматривать как замаскированную версию функции распределения Вигнера, если функция ядравыбран. Правильно выбранная функция ядра может значительно уменьшить нежелательный перекрестный член функции распределения Вигнера.
В чем преимущество дополнительной функции ядра? На следующем рисунке показано распределение автоматического и перекрестного члена многокомпонентного сигнала как в неоднозначности, так и в функции распределения Вигнера.
Для многокомпонентных сигналов в целом распределение его авто-члена и перекрестного члена в его функции распределения Вигнера обычно непредсказуемо, и, следовательно, перекрестный член не может быть легко удален. Однако, как показано на рисунке, для функции неоднозначности автоматическая составляющая многокомпонентного сигнала по своей природе стремится закрыть начало координат на плоскости ητ , а перекрестный член будет иметь тенденцию быть далеко от начала координат. Благодаря этому свойству перекрестный член можно легко отфильтровать, если в ητ -области применяется правильная функция ядра нижних частот. Ниже приведен пример, демонстрирующий, как отфильтровывается перекрестный термин.
Свойства ядра
Преобразование Фурье является
Следующее предложение дает необходимые и достаточные условия, чтобы гарантировать, что удовлетворяет маргинальным энергетическим свойствам, подобным свойствам распределения Вигнера – Вилля.
- Утверждение: предельные энергетические свойства
- довольны для всех если и только если
Некоторые частотно-временные распределенияФункция распределения Вигнера
Вышеупомянутая функция распределения Вигнера является членом класса квадратичных частотно-временных распределений (QTFD) с функцией ядра . Определение распределения Вигнера следующее:
Модифицированные функции распределения Вигнера
Аффинная инвариантность
Мы можем разработать частотно-временные распределения энергии, которые удовлетворяют свойству масштабирования
как и распределение Вигнера – Вилля. Если
тогда
Это равносильно тому, что
и поэтому
Распределения Рихачека и Чоя – Вильямса являются примерами аффинно-инвариантных распределений классов Коэна.
Функция распределения Чоя – Вильямса
Ядро распределения Чоя – Вильямса определяется следующим образом:
где α - настраиваемый параметр.
Функция распределения Рихачека
Ядро дистрибутива Рихача определяется следующим образом:
С этим конкретным ядром простой расчет доказывает, что
Функция распределения по форме конуса
Ядро функции распределения в форме конуса определяется следующим образом:
где α - настраиваемый параметр. См. Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе . Больше таких QTFD и полный список можно найти, например, в процитированном тексте Коэна.
Спектр нестационарных процессовИзменяющийся во времени спектр для нестационарных процессов определяется из ожидаемого распределения Вигнера – Вилля. Локально стационарные процессы возникают во многих физических системах, где случайные флуктуации производятся механизмом, который медленно изменяется во времени. Такие процессы можно локально аппроксимировать стационарным процессом. Позволять - вещественный процесс с нулевым средним и ковариантным
Ковариационный оператор K определен для любого детерминированного сигнала от
Для локально стационарных процессов собственные векторы K хорошо аппроксимируются спектром Вигнера – Вилля.
Спектр Вигнера – Вилля
Свойства ковариации изучаются как функция а также :
Процесс является стационарным в широком смысле, если ковариация зависит только от:
Собственные векторы - это комплексные экспоненты а соответствующие собственные значения даются спектром мощности
Для нестационарных процессов Мартин и Фландрин ввели нестационарный спектр
Чтобы избежать проблем сходимости, мы предполагаем, что X имеет компактную опору, так что имеет компактную опору в . Сверху мы можем написать
что доказывает , что изменяющийся во время спектра ожидаемого значения Вигнера-Виль преобразования процесса X . Здесь стохастический интеграл Вигнера – Вилля интерпретируется как среднеквадратичный интеграл: [2]
Рекомендации- ^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing, vol. 19, нет. 1. С. 153–183, январь 2009 г.
- ^ Вейвлет-тур по обработке сигналов , Стефан Маллат
- Л. Коэн, Частотно-временной анализ, Прентис-Холл, Нью-Йорк, 1995. ISBN 978-0135945322
- Б. Боашаш, редактор, «Частотно-временной анализ и обработка сигналов - исчерпывающий справочник», Elsevier Science, Oxford, 2003.
- Л. Коэн, «Частотно-временные распределения - обзор», Proceedings of the IEEE, vol. 77, нет. 7. С. 941–981, 1989.
- С. Цянь и Д. Чен, Совместный частотно-временной анализ: методы и приложения, гл. 5, Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1996.
- H. Choi и WJ Williams, «Улучшенное частотно-временное представление многокомпонентных сигналов с использованием экспоненциальных ядер», IEEE. Пер. Акустика, речь, обработка сигналов, т. 37, нет. 6. С. 862–871, июнь 1989 г.
- Ю. Чжао, Л. Е. Атлас и Р. Дж. Маркс, «Использование конусообразных ядер для обобщенного частотно-временного представления нестационарных сигналов», IEEE Trans. Акустика, речь, обработка сигналов, т. 38, нет. 7. С. 1084–1091, июль 1990 г.
- Б. Боашаш, «Эвристическая формулировка частотно-временных распределений», Глава 2, стр. 29–58, в Б. Боашаш, редактор, Анализ и обработка частотно-временных сигналов: исчерпывающий справочник, Elsevier Science, Oxford, 2003.
- Б. Боашаш, «Теория квадратичных TFD», глава 3, стр. 59–82, в Б. Боашаш, редактор, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: исчерпывающий справочник, Elsevier, Oxford, 2003.