Функция ядра Коэна:
где это короткое время преобразования Фурье из.
Функция ядра Коэна: который является WD самой оконной функции. Это можно проверить, применив свойство свертки функции распределения Вигнера .
Спектрограмма не может создавать помех, поскольку это квадратичное распределение с положительными значениями.
Не может решить перекрестную проблему, однако он может решить проблему разницы во времени двух компонентов больше, чем размер окна B.
- Модифицированная форма III (Псевдо-L-распределение Вигнера)
Где L - любое целое число больше 0
Увеличение L может уменьшить влияние перекрестного члена (однако оно не может устранить полностью)
Например, для L = 2 доминирующий третий член делится на 4 (что эквивалентно 12 дБ).
Это дает значительное улучшение по сравнению с распределением Вигнера.
Свойства распределения Л-Вигнера:
- Распределение Л-Вигнера всегда реально.
- Если сигнал сдвинут по времени , то его LWD также сдвинут во времени,
- LWD модулированного сигнала сдвигается по частоте
- Сигнал ограничено по времени, т. е. то распределение Л-Вигнера ограничено по времени,
- Если сигнал группа ограничена (), тогда ограничен в частотной области также.
- Интеграл распределения Л-Вигнера по частоте равен обобщенной мощности сигнала:
- Неотъемлемая часть по времени и частота равна сила норма сигнала :
- Интеграл по времени равен:
- Для большого значения Мы можем пренебречь всеми значениями , Сравнивая их с тем, что в точках , где распределение достигает своего существенного супремума:
- Модифицированная форма IV (Полиномиальная функция распределения Вигнера)
Когда а также , она становится исходной функцией распределения Вигнера.
Это позволяет избежать перекрестного члена, когда порядок фазы экспоненциальной функции не превышает
Однако перекрестный член между двумя компонентами не может быть удален.
должен быть выбран правильно так, чтобы
Если
когда ,
- Псевдо-Вигнеровское распределение
Функция ядра Коэна: которая сосредоточена на оси частот.
Обратите внимание, что псевдо-Вигнера также можно записать как преобразование Фурье «спектральной корреляции» STFT.
- Сглаженное псевдо-распределение Вигнера :
В псевдо-Вигнера временное оконное управление действует как сглаживание частотного направления. Следовательно, он подавляет компоненты помех распределения Вигнера, которые колеблются в частотном направлении. Сглаживание направления времени может быть реализовано путем свертки по времени PWD с функцией lowpass. :
Функция ядра Коэна: где - преобразование Фурье окна .
Таким образом, ядро, соответствующее сглаженному псевдовигнеровскому распределению, имеет разделимый вид. Обратите внимание, что даже если SPWD и S-метод сглаживают WD во временной области, в целом они не эквивалентны.
Функция ядра Коэна:
S-метод ограничивает диапазон интеграла PWD с помощью функции окна нижних частот. преобразования Фурье . Это приводит к удалению перекрестных терминов без размытия автоматических терминов, которые хорошо сосредоточены вдоль частотной оси. S-метод обеспечивает баланс между распределением псевдо-Вигнера. [] и спектрограмма мощности [].
Обратите внимание, что в оригинальной статье 1994 года Станкович определяет S-метод с модулированной версией кратковременного преобразования Фурье:
где
Даже в этом случае у нас все еще есть