Порядок интегрирования (исчисления)

В исчислении смена порядка интегрирования - это методология, которая преобразует повторяющиеся интегралы (или множественные интегралы с помощью теоремы Фубини ) функций в другие, надеюсь, более простые интегралы путем изменения порядка, в котором выполняются интегрирования. В некоторых случаях порядок интеграции может быть действительно изменен; в других - нет.

Формулировка проблемы [ править ]

Задача для проверки - вычисление интеграла формы

${\ Displaystyle \ iint _ {D} \ е (х, у) \ dx \, dy,}$

где D - некоторая двумерная область на плоскости xy . Для некоторых функций f возможно прямое интегрирование, но там, где это не так, интеграл иногда можно привести к более простой форме, изменив порядок интегрирования. Трудность этого обмена заключается в определении изменения в описании домена D .

Метод применим и к другим кратным интегралам . ^{[1] [2]}

Иногда, даже если полная оценка затруднена или, возможно, требует численного интегрирования, двойной интеграл может быть сведен к единственному интегрированию, как показано ниже. Сведение к единственному интегрированию значительно упрощает и повышает эффективность числовой оценки .

Отношение к интеграции по частям [ править ]

Рассмотрим повторный интеграл

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy \, dx \}$,

который мы напишем, используя обычно используемую в физике префиксную запись:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {z} dx \, \ int _ {a} ^ {x} \, h (y) \, dy}$.

В этом выражении второй интеграл вычисляется первым по y, а x остается постоянным - полоса шириной dx интегрируется первой по направлению y (полоса шириной dx в направлении x интегрируется по оси y переменная в направлении y), складывая бесконечное количество прямоугольников шириной dy вдоль оси y. Это формирует трехмерный срез шириной dx вдоль оси x, от y = a до y = x вдоль оси y и в направлении z z = f (x, y). Обратите внимание, что если толщина dx бесконечно мала, x изменяется только бесконечно мало на срезе. Мы можем считать, что x постоянный. ^[3] Эта интеграция показана на левой панели рисунка 1, но она неудобна, особенно когда функцияh (y) нелегко интегрировать. Интеграл можно свести к единственному интегрированию, изменив порядок интегрирования, как показано на правой панели рисунка. Для выполнения этого обмена переменными полоса шириной dy сначала интегрируется от линии x = y до предела x = z , а затем результат интегрируется от y = a до y = z , в результате чего:

${\displaystyle \int _{a}^{z}\ dx\ \int _{a}^{x}\ h(y)\ dy\ =\int _{a}^{z}\ h(y)\ dy\ \ \int _{y}^{z}\ dx=\int _{a}^{z}\ \left(z-y\right)h(y)\,dy\ .}$

Этот результат можно рассматривать как пример формулы для интегрирования по частям , как указано ниже: ^[4]

${\displaystyle \int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx\!}$

Заменять:

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}\ h(y)\,dy{\text{ and }}g'(x)=1\ .}$

Что дает результат.

Интегралы главного значения [ править ]

По поводу применения к интегралам с главным значением см. Whittaker and Watson, ^[5] Gakhov, ^[6] Lu, ^[7] или Zwillinger. ^[8] См. Также обсуждение преобразования Пуанкаре-Бертрана в Оболашвили. ^[9] Пример, когда порядок интеграции не может быть изменен, дал Канвал: ^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,}$

пока:

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .}$

Вторая форма вычисляется с использованием частичного разложения дроби и оценки с использованием формулы Сохоцкого – Племеля : ^[11]

${\displaystyle \int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}$

Обозначение указывает на главное значение Коши . См. Канвал. ^[10]${\displaystyle \int _{L}^{*}}$

Основные теоремы [ править ]

Обсуждение основ для изменения порядка интегрирования можно найти в книге Т. В. Кёрнера « Анализ Фурье ». ^[12] Он начинает свое обсуждение с примера, где перестановка интегрирования приводит к двум различным ответам, потому что условия теоремы II ниже не выполняются. Вот пример:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}$

Две основные теоремы, регулирующие допустимость перестановки, цитируются ниже Чаудри и Зубайра: ^[13]

Теорема I  -  Пусть F ( х ,  у ) является непрерывной функцией постоянного знака определяется для через ≤ х <∞ , с ≤ у <∞ , и пусть интегралов

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx}$           и           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy}$

как функции соответствующего параметра, будут, соответственно, непрерывными при c ≤ y <∞ , a ≤ x <∞ . Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\ \left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy}$           и           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx}$

сходится, другой интеграл также сходится и их значения совпадают.

Теорема II  -  Пусть F ( х ,  у ) непрерывна при A ≤ х <∞ , с ≤ у <∞ , и пусть интегралов

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx}$           и           ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy}$

соответственно, сходятся равномерно на каждом конечном интервале c ≤ y <C и на каждом конечном интервале a ≤ x <A . Тогда, если хотя бы один из повторных интегралов

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\ \left(\int _{a}^{\infty }\ |f(x,\ y)|dx\right)dy}$           и           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ |f(x,\ y)|dy\right)dx}$

сходится, повторные интегралы

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\ \left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy}$           и           ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx}$

также сходятся и их значения равны.

Наиболее важная теорема для приложений цитируется из Проттера и Морри: ^[14]

Теорема  -  Пусть F представляет собой область , определяется ,   где р и д непрерывен и р ( х ) ≤ д ( х ) для с ≤ х ≤ б . Предположим , что F ( х ,  у ) непрерывна на F . потом${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,y)dA=\int _{a}^{b}\ \int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx\ .}$

Соответствующий результат верен, если замкнутая область F имеет представление   где r ( y ) ≤  s ( y ) при c ≤ y ≤ d . В таком случае,${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}}$

${\displaystyle \iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\ \int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .}$

Другими словами, оба повторных интеграла, если их можно вычислить, равны двойному интегралу и, следовательно, равны друг другу.

См. Также [ править ]

• Теорема Фубини

Ссылки и примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-математические заметки Павла: Исчисление III
• Хорошие трехмерные изображения, показывающие вычисление «двойных интегралов» с использованием повторных интегралов , Департамент математики Университета штата Орегон.
• Проблемы исчисления Рона Мича UCLA Более сложные примеры изменения порядка интегрирования (см. Задачи 33, 35, 37, 39, 41 и 43)
• Веб-сайт Миннесотского университета Дуэйна Никампа