Теорема оптической эквивалентности в квантовой оптике утверждает эквивалентность между математическим ожиданием оператора в гильбертовом пространстве и математическим ожиданием связанной с ним функции в формулировке фазового пространства относительно распределения квазивероятностей . Теорема была впервые представлена Джорджем Сударшаном в 1963 году для нормально упорядоченных операторов [1] и обобщена позже в том же десятилетии для любого упорядочения. [2] [3] [4] [5]
Пусть Ω - порядок некоммутативных операторов рождения и уничтожения , и пусть- оператор, который выражается в виде степенного ряда по операторам рождения и уничтожения, удовлетворяющий порядку Ω. Тогда теорема оптической эквивалентности кратко выражается как
Здесь α понимается как собственное значение оператора уничтожения в когерентном состоянии и формально заменяется в разложении g в степенной ряд . Левая часть приведенного выше уравнения представляет собой математическое ожидание в гильбертовом пространстве, тогда как правая часть представляет собой математическое ожидание по отношению к распределению квазивероятностей.
Мы можем написать каждый из них явно для большей ясности. Позволять- оператор плотности и- порядок, обратный Ω. Распределение квазивероятностей, связанное с Ω, тогда, по крайней мере формально, определяется выражением
Вышеупомянутое уравнение становится
Например, пусть Ω - нормальный порядок . Это означает, что g можно записать в виде степенного ряда следующего вида:
Распределение квазивероятностей, связанное с нормальным порядком, является P-представлением Глаубера-Сударшана . Таким образом, мы приходим к
Эта теорема подразумевает формальную эквивалентность математических ожиданий нормально упорядоченных операторов в квантовой оптике и соответствующих комплексных чисел в классической оптике.
Рекомендации
- ^ ЭКГ Сударшан "Эквивалентность полуклассических и квантово-механических описаний статистических световых пучков", Phys. Rev. Lett. ' , '10 (1963) с. 277–279. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.10.277
- ^ KE Cahill и RJ Glauber "Упорядоченные разложения в операторах амплитуды бозона", Phys. Ред. ' , '177 (1969), с. 1857–1881. DOI : 10.1103 / PhysRev.177.1857
- ^ KE Cahill и RJ Glauber "Операторы плотности и распределения квазивероятностей", Phys. Ред. ' , '177 (1969), с. 1882–1902. DOI : 10.1103 / PhysRev.177.1882
- ^ GS Agarwal и E. Wolf "Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. I. Теоремы отображения и порядок функций некоммутирующих операторов", Phys. Ред. D , 2 (1970), стр. 2161–2186. DOI : 10.1103 / PhysRevD.2.2161
- ^ GS Agarwal и E. Wolf "Исчисление функций некоммутирующих операторов и общие методы фазового пространства в квантовой механике. II. Квантовая механика в фазовом пространстве", Phys. Ред. D , 2 (1970), стр. 2187–2205. DOI : 10.1103 / PhysRevD.2.2187