В математике , равномерная абсолютная сходимость является типом сходимости для ряда из функций . Как и абсолютная сходимость , она имеет то полезное свойство, что сохраняется при изменении порядка суммирования.
Мотивация [ править ]
Сходящийся ряд чисел часто можно переупорядочить таким образом, чтобы новый ряд расходился. Однако это невозможно для рядов неотрицательных чисел, поэтому понятие абсолютной сходимости исключает это явление. При работе с равномерно сходящимися рядами функций происходит то же самое: ряд потенциально может быть переупорядочен в неравномерно сходящийся ряд или ряд, который даже не сходится поточечно. Это невозможно для рядов неотрицательных функций, поэтому можно использовать понятие равномерной абсолютной сходимости, чтобы исключить эти возможности.
Определение [ править ]
Учитывая набор X и функции (или любое нормированное векторное пространство ), ряд
называется равномерно абсолютно сходящейся, если ряд неотрицательных функций
сходится равномерно. [1]
Отличия [ править ]
Ряд может сходиться равномерно и абсолютно сходиться, не будучи равномерно абсолютно сходящимся. Например, если ƒ n ( x ) = x n / n на открытом интервале (−1,0), то ряд Σ f n ( x ) сходится равномерно при сравнении частичных сумм с суммами Σ (−1) n / n , а ряд Σ | f n ( x ) | сходится абсолютно в каждой точке по критерию геометрической серии, но Σ | f n ( x) | не сходится равномерно. Интуитивно это происходит потому, что абсолютная сходимость становится все медленнее и медленнее по мере приближения x к -1, где сходимость сохраняется, но абсолютная сходимость не работает.
Обобщения [ править ]
Если ряд функций равномерно абсолютно сходится в некоторой окрестности каждой точки топологического пространства, он локально равномерно абсолютно сходится . Если ряд равномерно абсолютно сходится на всех компактных подмножествах топологического пространства, он компактно (равномерно) абсолютно сходится . Если топологическое пространство локально компактно , эти понятия эквивалентны.
Свойства [ править ]
- Если ряд функций в C (или в любом банаховом пространстве ) равномерно абсолютно сходится, то он сходится равномерно.
- Равномерная абсолютная сходимость не зависит от порядка ряда. Это связано с тем, что для ряда неотрицательных функций равномерная сходимость эквивалентна тому свойству, что для любого ε> 0 существует конечное число членов ряда, так что исключение этих членов приводит к ряду с общей суммой меньше константы функция ε, и это свойство не относится к упорядочиванию.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
