Почти голоморфная модулярная форма

В математике , почти голоморфных модулярных форм , называемых также почти голоморфных модулярных форм , являются обобщением модулярных форм , которые являются многочлены 1 / Im (т) с коэффициентами, голоморфными функциями т. Quasimodular форма является голоморфной частью почти голоморфной модульной формы. Почти голоморфная модулярная форма определяется своей голоморфной частью, поэтому операция взятия голоморфной части дает изоморфизм между пространствами почти голоморфных модулярных форм и квазимодулярных форм. Архетипическими примерами квазимодулярных форм являются ряд Эйзенштейна E ₂(τ) (голоморфная часть почти голоморфной модулярной формы E ₂ (τ) - 3 / πIm (τ)) и производные модулярных форм.

С точки зрения теории представлений, модульные формы примерно соответствуют векторам старшего веса некоторых представлений дискретной серии SL ₂ ( R ), в то время как почти голоморфные или квазимодулярные формы примерно соответствуют другим (не обязательно старшему весу) векторам этих представлений.

Определения [ править ]

Для упрощения обозначений в этом разделе рассматривается случай уровня 1; расширение на более высокие уровни несложно.

Почти голоморфная модулярная форма уровня 1 - это функция f на верхней полуплоскости со свойствами:

• f преобразуется как модульная форма: для некоторого целого числа k, называемого весом , для любых элементов SL ₂ ( Z ) (то есть: a, b, c, d - целые числа с ad - bc = 1).${\ Displaystyle е ((а \ тау + Ь) / (с \ тау + d)) = (с \ тау + d) ^ {к} е (\ тау)}$
• Как функция q = e ^{2π i τ} , f является многочленом от 1 / Im (τ) с коэффициентами, голоморфными функциями q .

Квазимодулярная форма уровня 1 определяется как постоянный член почти голоморфной модулярной формы (рассматриваемой как полином от 1 / Im (τ)).

Структура [ править ]

Кольцо почти голоморфных модулярных форм уровня 1 является кольцом многочленов над комплексными числами трех образующих . Аналогично кольцо квазимодулярных форм уровня 1 является кольцом многочленов над комплексными числами в трех образующих .${\ Displaystyle E_ {2} (\ tau) -3 / \ pi \ Im (\ tau), E_ {4} (\ tau), E_ {6} (\ tau)}$${\ Displaystyle Е_ {2} (\ тау), Е_ {4} (\ тау), Е_ {6} (\ тау)}$

Квазимодулярные формы можно интерпретировать как сечения определенных пучков струй . ^[1]

Производные [ править ]

Рамануджан заметил, что производная любой квазимодулярной формы является другой квазимодулярной формой. ^[2] Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{2}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}^{2}-E_{4}}{12}}\\[6pt]{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{4}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}E_{4}-E_{6}}{3}}\\[6pt]{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {dE_{6}}{d\tau }}&={\frac {E_{2}E_{6}-E_{4}^{2}}{2}}\end{aligned}}}$

Поскольку поле, порожденное квазимодулярными формами некоторого уровня, имеет степень трансцендентности 3 над C , это означает, что любая квазимодулярная форма удовлетворяет некоторому нелинейному дифференциальному уравнению порядка 3. Например, ряд Эйзенштейна E ₂ удовлетворяет уравнению Шази ( плюс-минус несколько константы).

Ссылки [ править ]

• Мовасати, Хоссейн (2012), " Квазимодульные формы, прикрепленные к эллиптическим кривым, I" , Ann. Математика. Блез Паскаль , 19 (2): 307–377, MR  3025138
• Загир, Дон (2008), «Эллиптические модульные формы и их приложения», в Ranestad, Kristian (ed.), 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, июнь 2004 г. , Universitext, с Бруинье, Яном Хендриком; ван дер Гир, Жерар; Сильнее, Гюнтер, Berlin: Springer-Verlag ., Стр 1-103, DOI : 10.1007 / 978-3-540-74119-0 , ISBN 978-3-540-74117-6, Руководство по ремонту  2409678 , Zbl  1197.11047