Модульная кривая

В теории чисел и алгебраической геометрии , A модульной кривой Y (Γ) является римановой поверхностью , или соответствующей алгебраической кривой , построенной как фактор комплексной верхней полуплоскости Н по действию в виде конгруэнцпроблемы Г из модулярной группы из интегральные 2 × 2-матрицы SL (2, Z ). Термин модулярная кривая также может использоваться для обозначения компактифицированных модулярных кривых X (Γ), которые являются компактификациями, полученными добавлением конечного числа точек (называемых каспами Γ) к этому фактору (через действие на расширенной комплексной верхней полуплоскости ). Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизма эллиптических кривых вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы Γ. Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылки на комплексные числа и, более того, доказать, что модульные кривые определены либо над полем рациональных чисел Q, либо над круговым полем Q (ζ _n ). Последний факт и его обобщения имеют фундаментальное значение в теории чисел.

Аналитическое определение [ править ]

Модулярная группа SL (2, Z ) действует на верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями . Аналитическое определение модулярной кривой включает выбор конгруэнтной подгруппы Γ группы SL (2, Z ), т. Е. Подгруппы, содержащей главную конгруэнтную подгруппу уровня N Γ ( N ), для некоторого натурального числа N , где

\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ and }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.

Минимальное такое N называется уровнем Γ . На фактор Γ \ H можно нанести комплексную структуру, чтобы получить некомпактную риманову поверхность, обычно обозначаемую Y (Γ).

Компактифицированные модульные кривые [ править ]

Общая компактификация Y (Γ) получается добавлением конечного числа точек, называемых каспами Γ. В частности, это делается путем рассмотрения действия Γ на расширенной комплексной верхней полуплоскости H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Введем топологию на H *, взяв за основу:

любое открытое подмножество H ,
для всех r > 0 множество $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$
для всех взаимно простых целых чисел a , c и всех r > 0 образ под действием $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}$

{\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}

где m , n - такие целые числа, что an + cm = 1.

Это превращает H * в топологическое пространство, которое является подмножеством сферы Римана P ¹ ( C ). Группа Γ действует на подмножестве Q ∪ {∞ }, разбивая его на конечное число орбит, называемых каспами Γ . Если Γ действует транзитивно на Q ∪ {∞ }, пространство Γ \ H * становится Alexandroff компактификацией из Г \ Н . Еще раз, на фактор Γ \ H * можно нанести комплексную структуру, превратив его в риманову поверхность, обозначенную X (Γ), которая теперь стала компактной . Это пространство - компактификацияY (Γ). ^[1]

Примеры [ править ]

Наиболее распространенными примерами являются кривые X ( N ), X ₀ ( N ) и X ₁ ( N ), ассоциированные с подгруппами Γ ( N ), Γ ₀ ( N ) и Γ ₁ ( N ).

Модулярная кривая X (5) имеет род 0: это сфера Римана с 12 каспами, расположенными в вершинах правильного икосаэдра . Накрытие X (5) → X (1) реализуется действием группы икосаэдра на сфере Римана. Эта группа является простой группой порядка 60, изоморфной A ₅ и PSL (2, 5).

Модулярная кривая X (7) является квартикой Клейна рода 3 с 24 каспами. Его можно интерпретировать как поверхность с тремя ручками, выложенными плиткой из 24 семиугольников, с выступом в центре каждой грани. Эти мозаики можно понять с помощью детских рисунков и функций Белого: куспиды - это точки, лежащие над ∞ (красные точки), а вершины и центры ребер (черные и белые точки) - это точки, лежащие над 0 и 1. Группа Галуа накрытия X (7) → X (1) является простой группой порядка 168, изоморфной PSL (2, 7) .

Существует явная классическая модель для X ₀ ( N ), классической модулярной кривой ; это иногда называют модульной кривым. Определение Г ( N ) может быть пересчитано следующим образом : это подгруппа модулярной группы , которая является ядром редукции по модулю N . Тогда Γ ₀ ( N ) - это большая подгруппа матриц, которые являются верхнетреугольными по модулю N :

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},

и Γ ₁ ( N ) - промежуточная группа, определяемая следующим образом:

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.

Эти кривые имеют прямую интерпретацию как пространства модулей для эллиптических кривых со структурой уровня, и по этой причине они играют важную роль в арифметической геометрии . Модулярная кривая X ( N ) уровня N является пространством модулей для эллиптических кривых с базой для N - кручения . Для X ₀ ( N ) и X ₁ ( N ) структура уровня представляет собой, соответственно, циклическую подгруппу порядка N и точку порядка N. Эти кривые были подробно изучены, и , в частности, известно , что Х ₀ ( N ) может быть определена над Q .

Уравнения, определяющие модульные кривые, являются наиболее известными примерами модульных уравнений . «Лучшие модели» могут сильно отличаться от моделей, взятых непосредственно из теории эллиптических функций . Операторы Гекке можно изучать геометрически как соответствия, соединяющие пары модулярных кривых.

Примечание : факторгруппы H , которые являются компактными происходим для фуксовых групп Г кроме подгрупп модулярной группы; их класс, построенный из алгебр кватернионов, также представляет интерес для теории чисел.

Род [ править ]

Покрытие X ( N ) → X (1) есть группа Галуа с группой Галуа SL (2, N ) / {1, −1}, которая равна PSL (2, N ), если N простое. Применяя формулу Римана – Гурвица и теорему Гаусса – Бонне , можно вычислить род X ( N ). Для простого уровня p ≥ 5

-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,

где χ = 2 - 2 g - эйлерова характеристика , | G | = ( p +1) p ( p −1) / 2 - порядок группы PSL (2, p ), а D = π - π / 2 - π / 3 - π / p - угловой дефект сферической (2,3, p ) треугольник. Это приводит к формуле

g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).

Таким образом, X (5) имеет род 0, X (7) имеет род 3, а X (11) имеет род 26. При p = 2 или 3 необходимо дополнительно учесть ветвление, то есть наличие порядка p элементов в PSL (2, Z ) и тот факт, что PSL (2, 2) имеет порядок 6, а не 3. Существует более сложная формула для рода модулярной кривой X ( N ) любого уровня N, которая включает делители N .

Род ноль [ править ]

В общем случае поле модулярных функций - это поле функций модулярной кривой (или, иногда, некоторого другого пространства модулей, которое оказывается неприводимым многообразием ). Нулевой род означает, что такое функциональное поле имеет единственную трансцендентную функцию в качестве генератора: например, j-функция генерирует функциональное поле X (1) = PSL (2, Z ) \ H *. Традиционное название такого генератора, которое является уникальным с точностью до преобразования Мёбиуса и может быть соответствующим образом нормализовано, - Hauptmodul ( main илиосновная модульная функция ).

Пространства X ₁ ( n ) имеют нулевой род для n = 1, ..., 10 и n = 12. Поскольку каждая из этих кривых определена над Q и имеет Q -рациональную точку, отсюда следует, что существует бесконечно много рациональных точек на каждой такой кривой и, следовательно, бесконечное множество эллиптических кривых, определенных над Q с n -кручением для этих значений n . Обратное утверждение, что могут встречаться только эти значения n , является теоремой Мазура о кручении .

Отношения с группой монстров [ править ]

Модульные кривые рода 0, которые встречаются довольно редко, оказались очень важными в связи с чудовищными догадками о самогоне. Первые несколько коэффициентов q -расширений их Hauptmoduln были вычислены еще в 19 веке, но было шоком то, что те же самые большие целые числа появляются в качестве измерений представлений самой большой спорадической простой группы Monster.

Другое соединение , что модульная кривая , соответствующая нормализатор Γ ₀ ( р ) ⁺ в Г 0 ( р ) в SL (2, R ) имеет род нуль , если и только если р равно 2, 3, 5, 7, 11, 13 , 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71, и это в точности основные множители порядка группы монстров . Результат о Γ ₀ ( p ) ⁺ принадлежит Жан-Пьеру Серру , Эндрю Оггу и Джону Дж. Томпсону.в 1970-х годах, и последующее наблюдение, связанное с группой монстров, принадлежит Оггу, который написал статью, предлагающую бутылку виски Джека Дэниела любому, кто мог бы объяснить этот факт, что стало отправной точкой для теории чудовищного самогона. . ^[2]

Связь очень глубокая и, как показал Ричард Борчердс , также включает обобщенные алгебры Каца – Муди . Работа в этой области подчеркнула важность модульных функций, которые являются мероморфными и могут иметь полюса на куспидах, в отличие от модульных форм , которые голоморфны повсюду, включая куспиды, и были главными объектами изучения для большей части 20 век.

См. Также [ править ]

Теорема Манина – Дринфельда.
Стек модулей эллиптических кривых
Теорема модульности
Разнообразие Шимура , обобщение модульных кривых на более высокие измерения

Ссылки [ править ]

^ Серр, Жан-Пьер (1977), Cours d'arithmétique , Le Mathématicien, 2 (2-е изд.), Presses Universitaires de France
^ Ogg (1974)

Стивен Д. Гэлбрейт - Уравнения для модульных кривых

Шимура, Горо (1994) [1971], Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации математического общества Японии, 11 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08092-5, MR 1291394 , Лекции памяти Кано, 1CS1 maint: postscript (link)
Панчишкин А.А. Паршин А.Н. , "Модульная кривая" , Математическая энциклопедия , ISBN. 1-4020-0609-8
Огг, Эндрю П. (1974), "Автоморфизмы модульных курсов" (PDF) , Семинар Деланж-Пизо-Пуату. Theorie des nombres, том 16, вып. 1 (1974–1975), эксп. нет. 7 (на французском языке), MR 0417184

[1] Серр, Жан-Пьер (1977), Cours d'arithmétique , Le Mathématicien, 2 (2-е изд.), Presses Universitaires de France

[2] Ogg (1974)

[1]