Кольцо Адель

---

В математике кольцо аделей глобального поля ( также кольцо аделей , кольцо аделей или кольцо аделей ^[1] ) является центральным объектом теории полей классов , ветви алгебраической теории чисел . Это ограниченный продукт всех дополнений глобального поля и пример самодвойственного топологического кольца .

Кольцо аделей позволяет элегантно описать закон взаимности Артина , который является обширным обобщением квадратичного закона взаимности и других законов взаимности над конечными полями. Кроме того, это классическая теорема Вейля о том, что -расслоения на алгебраической кривой над конечным полем могут быть описаны в терминах аделей для редуктивной группы .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Пусть — глобальное поле (конечное расширение или поле функций кривой X/ F _q над конечным полем). Кольцо Адель является подкольцом${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle K}$

состоящая из кортежей где лежит в подкольце для всех, кроме конечного числа мест . Здесь индекс ранжируется по всем оценкам глобального поля , является завершением этой оценки и кольцом оценки .${\displaystyle (a_{\nu })}$${\displaystyle a_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$

Кольцо аделей решает техническую проблему «выполнения» анализа рациональных чисел . «Классическое» решение, которым пользовались люди раньше, заключалось в том, чтобы перейти к стандартному заполнению метрик и использовать там аналитические приемы. Но, как выяснилось позже, кроме евклидова расстояния существует гораздо больше абсолютных значений , по одному для каждого простого числа , как это было классифицировано Островским . Поскольку евклидова абсолютная величина, обозначаемая , является лишь одной из многих других, то кольцо аделей позволяет найти компромисс и использовать все оценки сразу.${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle |\cdot |_{p}}$. Это имеет то преимущество, что вы получаете доступ к аналитическим методам, а также сохраняете информацию о простых числах, поскольку их структура встроена в ограниченный бесконечный продукт.

---