Автоморфная L- функция

В математике , автоморфная L -функция является функция L ( s , П, г ) комплексной переменной s , связанный с автоморфным представлением П о наличии восстановительной группы G над глобальным полем и конечномерный комплексное представлением г из Langlands двойственной группа ^L G из G , обобщая Дирихле L-серию из с характером Дирихля и Меллин из модульной формы. Их ввел Ленглендс  ( 1967 , 1970 , 1971 ).

Борель (1979) и Артур и Гелбарт (1991) дали обзоры автоморфных L-функций.

Свойства [ править ]

Автоморфные -функции должны обладать следующими свойствами (которые были доказаны в некоторых случаях, но все еще являются предположениями в других случаях).${\ displaystyle L}$

L-функция должна быть произведением по местам из локальных функций.${\ Displaystyle L (s, \ pi, r)}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle L (s, \ pi, r) = \ Pi L (s, \ pi _ {v}, r_ {v})}$

Здесь автоморфное представление - тензорное произведение представлений локальных групп.${\ displaystyle \ pi = \ otimes \ pi _ {v}}$${\ displaystyle \ pi _ {v}}$

Ожидается, что L-функция будет иметь аналитическое продолжение как мероморфная функция всего комплекса и удовлетворять функциональному уравнению${\ displaystyle s}$

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,\pi ,r^{\lor })}$

где множитель является произведением "локальных констант"${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r)}$

${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r)=\Pi \epsilon (s,\pi _{v},r_{v},\psi _{v})}$

почти все из которых 1.

Общие линейные группы [ править ]

Годеман и Жаке (1972) построили автоморфные L-функции для общих линейных групп с r стандартным представлением (так называемые стандартные L-функции ) и проверили аналитическое продолжение и функциональное уравнение, используя обобщение метода из диссертации Тейта . В программе Ленглендса повсеместно используются произведения Ранкина-Сельберга представлений GL (m) и GL (n). Полученные L-функции Ранкина-Сельберга удовлетворяют ряду аналитических свойств, их функциональное уравнение было впервые доказано с помощью метода Ленглендса-Шахиди .

Вообще говоря, из гипотез о функториальности Ленглендса следует, что автоморфные L-функции связной редуктивной группы равны произведениям автоморфных L-функций общих линейных групп. Доказательство функториальности Ленглендса также привело бы к полному пониманию аналитических свойств автоморфных L-функций.

Ссылки [ править ]

• Артур, Джеймс; Гелбарт, Стивен (1991), «Лекции по автоморфным L-функциям», у Коутса, Джон; Тейлор, MJ (ред.), L-функции и арифметика (Дарем, 1989) (PDF) , London Math. Soc. Сер. Лекции, 153 , Cambridge University Press , стр. 1–59, DOI : 10.1017 / CBO9780511526053.003 , ISBN 978-0-521-38619-7, Руководство по ремонту  1110389
• Борель, Арманд (1979), "Автоморфные L-функции", у Бореля, Арманд ; Кассельман У. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика,. XXXIII , Providence, RI: Американское математическое общество . С. 27-61, DOI : 10,1090 / pspum / 033,2 / 546608 , ISBN 978-0-8218-1437-6, MR  0546608
• Cogdell, Джеймс У .; Ким, Генри H .; Мурти, Марути Рам (2004), Лекции по автоморфным L-функциям , Монографии Института Филдса, 20 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3516-6, MR  2071722
• Гелбарт, Стивен ; Пятецкий-Шапиро Илья; Раллис, Стивен (1987), Явные конструкции автоморфных L-функций , Лекции по математике, 1254 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0078125 , ISBN 978-3-540-17848-4, Руководство по ремонту  0892097
• Годеман, Роджер ; Жаке, Эрве (1972), Дзета-функции простых алгебр , Лекционные заметки по математике, 260 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0070263 , ISBN 978-3-540-05797-0, Руководство по ремонту  0342495
• Jacquet, H .; Пятецкий-Шапиро, II; Шалика, JA (1983), "Свертки Ранкина-Сельберга", Amer. J. Math. , 105 : 367-464, DOI : 10,2307 / 2374264
• Ленглендс, Роберт (1967), письмо профессору Вейлю
• Langlands, RP (1970), "Проблемы теории автоморфных форм", Лекции по современному анализу и приложениям, III , Lecture Notes in Math, 170 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, MR  0302614
• Ленглендс, Роберт П. (1971) [1967], продукты Эйлера , издательство Йельского университета, ISBN 978-0-300-01395-5, MR  0419366
• Шахиди, Ф. (1981), "О некоторых" L "-функциях", Amer. J. Math. , 103 : 297-355, DOI : 10,2307 / 2374219