В математике, формула Вороного является равенством с участием коэффициентов Фурье от автоморфных форм , с коэффициентами , скрученных с помощью аддитивных символов с обеих сторон. Ее можно рассматривать как формулу суммирования Пуассона для неабелевых групп . Формула Вороного (суммирование) для GL (2) долгое время была стандартным инструментом для изучения аналитических свойств автоморфных форм и их L- функций. Формула Вороного на GL (2) получила множество результатов. Концепция названа в честь Георгия Вороного .
Классическое приложение
Вороному и его современникам эта формула казалась специально разработанной для вычисления определенных конечных сумм. Это казалось важным, потому что несколько важных вопросов теории чисел связаны с конечными суммами арифметических величин. В этой связи упомянем два классических примера: проблему делителей Дирихле и проблему окружности Гаусса. Первый оценивает размер d ( n ), количество положительных делителей целого числа n . Дирихле доказал
где - постоянная Эйлера ≈ 0,57721566. Проблема круга Гаусса касается среднего размера
для которого Гаусс дал оценку
Каждая задача имеет геометрическую интерпретацию, при этом D ( X ) считает точки решетки в области, а также точки решетки в диске . Эти две границы связаны, как мы увидим, и исходят из довольно элементарных соображений. В серии статей Вороной разработал геометрические и аналитические методы для улучшения оценок Дирихле и Гаусса. В ретроспективе наиболее важно то, что он обобщил формулу, допустив взвешенные суммы, за счет введения более общих интегральных операций над f, чем преобразование Фурье.
Современная формулировка
Пусть ƒ - параболическая форма Маасса для модулярной группы PSL (2, Z ) и a ( n ) - ее коэффициенты Фурье. Пусть a , c - целые числа с ( a , c ) = 1. Пусть ω - тестовая функция с хорошим поведением. Формула Вороного для ƒ состояний
где является мультипликативным обратным к модулю с и Ω определенный интеграл преобразование ханкеля из со . (см. Хорошо (1984) )
Рекомендации
- Хорошо, Антон (1984), "Параболические формы и собственные функции оператора Лапласа", Mathematische Annalen , 255 (4): 523-548, DOI : 10.1007 / bf01451932
- Миллер, С.Д., и Шмид, В. (2006). Автоморфные распределения, L-функции и суммирование Вороного для GL (3). Анналы математики, 423–488.
- Вороной, Г. (1904). Sur une fonction transcendente et ses applications à la somitation de quelques séries. В научных Анналах высшей нормальной школы (том 21, стр. 207–267).