Серия Ламберта

Функция , представленная в виде графика Matplotlib , использующая версию метода окраски домена ^[1]${\ Displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}}$

В математике , серии Ламберт , названный по имени Иоганн Генрих Ламберт , является серия принимая форму

${\ Displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {q ^ {n}} {1-q ^ {n}}}.}$

Формально его можно возобновить , расширив знаменатель:

${\ displaystyle S (q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} q ^ {nk} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} b_ {m} q ^ {m}}$

где коэффициенты новой серии задаются сверткой Дирихля в виде _п с функцией постоянной 1 ( п ) = 1:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}$

Этот ряд может быть обращен с помощью формулы обращения Мебиуса , и это пример преобразования Мебиуса .

Примеры [ править ]

Поскольку эта последняя сумма является типичной теоретико-числовой суммой, почти любая натуральная мультипликативная функция будет точно суммируемой при использовании в ряду Ламберта. Так, например, есть

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

где - количество положительных делителей числа  n .${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$

Для получения более высокого порядка сумм из-делителем функций , одна имеет

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

где - любое комплексное число и${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

- функция делителя.

Дополнительные ряды Ламберта, связанные с предыдущим тождеством, включают ряды для вариантов функции Мёбиуса, приведенных ниже.${\displaystyle \mu (n)}$

^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

Связанные ряды Ламберта по функции Мебиуса включают следующие тождества для любого простого числа :${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=q-2q^{2}\\\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}&=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.\end{aligned}}}$

Доказательство первого тождества выше следует из многосекционного (или пополам) тождества этих производящих функций ряда Ламберта в следующей форме, где мы обозначаем как производящую функцию ряда Ламберта арифметической функции f : ${\displaystyle L_{f}(q):=q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}}$

Второе тождество в предыдущих уравнениях следует из того факта, что коэффициенты левой суммы имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d|n}\mu (\alpha d)=\sum _{d|{\frac {n}{(n,\alpha )}}}\mu (d)=\varepsilon \left({\frac {n}{(n,\alpha )}}\right)=1\iff n=(n,\alpha )\iff n=\alpha ^{k},\ {\text{ for some }}k\geq 1,\end{aligned}}}$

где функция является мультипликативным тождеством относительно операции свертки Дирихле арифметических функций.${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$

Для тотент-функции Эйлера :${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Для функции Фон Мангольдта :${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}$

Для функции Лиувилля :${\displaystyle \lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}$

с суммой справа, аналогичной тета-функции Рамануджана или тета-функции Якоби . Обратите внимание, что ряды Ламберта, в которых a _n являются тригонометрическими функциями , например, a _n = sin (2 n x ), можно вычислить с помощью различных комбинаций логарифмических производных тета-функций Якоби .${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ 

Вообще говоря, мы можем расширить предыдущее разложение производящей функции, обозначив характеристическую функцию степеней ,, для положительных натуральных чисел и определив обобщенную m- лямбда-функцию Лиувилля как арифметическую функцию, удовлетворяющую . Это определение ясно подразумевает, что , в свою очередь, показывает, что${\displaystyle \chi _{m}(n)}$${\displaystyle m^{th}}$${\displaystyle n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle m>2}$${\displaystyle \chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)}$${\displaystyle \lambda _{m}(n)}$${\displaystyle \lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.}$

У нас также есть несколько более обобщенное разложение в ряд Ламберта, порождающее функцию суммы квадратов в виде ^[3]${\displaystyle r_{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}$

В общем, если мы напишем ряд Ламберта, над которым порождаются арифметические функции , следующие пары функций будут соответствовать другим хорошо известным сверткам, выраженным их производящими функциями ряда Ламберта в виде${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle g(m)=(f\ast 1)(m)}$

${\displaystyle (f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),}$

где - мультипликативное тождество для сверток Дирихле , - функция тождества для степеней, обозначает характеристическую функцию для квадратов, которая подсчитывает количество различных простых множителей (см. простую омега-функцию ), является функцией Джордана и является функцией делителя (см. свертки Дирихле ).${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$${\displaystyle k^{th}}$${\displaystyle \chi _{\operatorname {sq} }}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J_{t}}$${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}$

Традиционное использование буквы q в суммировании - это историческое использование, связанное с ее происхождением из теории эллиптических кривых и тета-функций в качестве нома .

Альтернативная форма [ править ]

Подстановка одного дает другой общий вид для ряда, как${\displaystyle q=e^{-z}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

где

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,}$

как прежде. Примеры рядов Ламберта в этой форме, с , встречаются в выражениях дзета-функции Римана для нечетных целочисленных значений; см. подробности в Зета-константах .${\displaystyle z=2\pi }$

Текущее использование [ править ]

В литературе мы находим ряды Ламберта, применяемые к самым разным суммам. Например, поскольку это функция полилогарифма , мы можем ссылаться на любую сумму в форме${\displaystyle q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}}$

как ряд Ламберта, предполагая, что параметры соответствующим образом ограничены. Таким образом

${\displaystyle 12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),}$

которое выполняется для всех комплексных q не на единичной окружности, можно было бы рассматривать как тождество ряда Ламберта. Это тождество прямо следует из некоторых тождеств, опубликованных индийским математиком С. Рамануджаном . Очень тщательное исследование работ Рамануджана можно найти в работах Брюса Берндта .

Теоремы факторизации [ править ]

Несколько более новая конструкция, недавно опубликованная в 2017–2018 гг., Относится к так называемым теоремам факторизации рядов Ламберта вида ^[4]

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},}$

где - соответствующая сумма или разность ограниченных функций разбиения, которые обозначают количество 's во всех разбиениях на четное (соответственно нечетное ) количество различных частей. Пусть обозначает обратимую нижнюю треугольную последовательность, первые несколько значений которой показаны в таблице ниже.${\displaystyle s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=[q^{n}](\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}}$${\displaystyle s_{e/o}(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}}$

Другой характерный вид разложений теоремы факторизации в ряд Ламберта дается в ^[5]

${\displaystyle L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}$

где - (бесконечный) символ q-Поххаммера . Обратимые матричные произведения в правой части предыдущего уравнения соответствуют обратным матричным произведениям, чьи нижние треугольные элементы заданы в терминах статистической суммы, а функция Мёбиуса - суммами делителей${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

В следующей таблице перечислены первые несколько строк этих соответствующих обратных матриц. ^[6]

Мы выпускаем обозначаем последовательность чередующихся пятиугольных чисел , то есть, так что теорема пятиугольного числа расширяется в виде${\displaystyle G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil }$

${\displaystyle (q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.}$

Тогда для любого ряда Ламберта, порождающего последовательность из , у нас есть соответствующее отношение обращения теоремы факторизации, расширенное выше, заданное формулой ^[7]${\displaystyle L_{f}(q)}$${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).}$

Эта работа по теоремам факторизации рядов Ламберта распространена в ^[8] на более общие разложения вида

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},}$

где - любая (связанная с разбиением) обратная производящая функция, - любая арифметическая функция , и где модифицированные коэффициенты расширяются на${\displaystyle C(q)}$${\displaystyle \gamma (n)}$

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).}$

Соответствующие обратные матрицы в приведенном выше разложении удовлетворяют

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}[q^{d-k}]{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),}$

так что, как и в первом варианте теоремы факторизации Ламберта выше, мы получаем соотношение обращения для правых коэффициентов вида

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times [q^{k}]\left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).}$

Отношения повторения [ править ]

В этом разделе мы определяем следующие функции для натуральных чисел : ${\displaystyle n,x\geq 1}$

${\displaystyle g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).}$

Мы также принимаем обозначения из предыдущего раздела, что

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$

где - бесконечный символ q-Поххаммера . Тогда мы имеем следующие рекуррентные соотношения для включения этих функций и пятиугольных чисел, доказанных в: ^[7]${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).}$

Производные [ править ]

Производные ряда Ламберта могут быть получены почленным дифференцированием ряда по . Имеются следующие тождества для почленных производных ряда Ламберта для любого ^{[9] [10]}${\displaystyle q}$${\displaystyle s^{th}}$${\displaystyle s\geq 1}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{r=0}^{s}\left[\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},}$

где треугольные коэффициенты в квадратных скобках в предыдущих уравнениях обозначают числа Стирлинга первого и второго рода . У нас также есть следующая идентичность для извлечения отдельных коэффициентов членов, неявных к предыдущим разложениям, заданным в форме

${\displaystyle [q^{n}]\left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.}$

Теперь, если мы определим функции для любого с помощью${\displaystyle A_{t}(n)}$${\displaystyle n,t\geq 1}$

${\displaystyle A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left[{\begin{matrix}t\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left[t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{r+1}}\right\rfloor \right]_{\delta },}$

где обозначает соглашение Айверсона , то у нас есть коэффициенты при производных ряда Ламберта, заданные формулами${\displaystyle [\cdot ]_{\delta }}$${\displaystyle t^{th}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{t}(n)&=[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)\\&=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

Конечно, с помощью типичного рассуждения, основанного исключительно на операциях над формальным степенным рядом, мы также имеем

${\displaystyle [q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq 1}{\frac {f(i)q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).}$

См. Также [ править ]

• Константа Эрдеша – Борвейна
• Арифметическая функция
• Свертка Дирихле

Ссылки [ править ]

• Берри, Майкл В. (2010). Функции теории чисел . ПРЕССА КЕМБРИДЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. С. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
• Ламберт, Престон А. (1904). «Разложения алгебраических функций в особых точках». Proc. Являюсь. Филос. Soc . 43 (176): 164–172. JSTOR  983503 .
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001
• "Ряд Ламберта" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Ламберта» . MathWorld .
• Шмидт, Макси Дион (2020-04-06). «Каталог интересных и полезных тождеств серии Ламберта». arXiv : 2004.02976 [ math.NT ].