В 1919 году Рамануджан опубликовал новое доказательство постулата Бертрана, которое, как он отмечает, впервые было доказано Чебышевым . [1] В конце двухстраничной опубликованной статьи Рамануджан вывел обобщенный результат, а именно:
где - функция подсчета простых чисел, равная количеству простых чисел, меньших или равных x .
Обратным к этому результату является определение простых чисел Рамануджана:
П - й Рамануйян простое это наименьшее целое число R п , для которых для всех х ≥ R н . [2] Другими словами: простые числа Рамануджана - это наименьшие целые числа R n, для которых существует не менее n простых чисел между x и x / 2 для всех x ≥ R n .
Таким образом, первые пять простых чисел Рамануджана равны 2, 11, 17, 29 и 41.
Обратите внимание, что целое число R n обязательно является простым числом: и, следовательно, должно увеличиваться, получая другое простое число в x = R n . Поскольку может увеличиваться не более чем на 1,
В п стремится к бесконечности, R п является асимптотической к 2 п й штрихом, т.е.
R n ~ p 2 n ( n → ∞).
Все эти результаты были доказаны Сондоу (2009), [3], за исключением верхней оценки R n < p 3 n, которая была высказана им и доказана Лайшрамом (2010). [4] Оценка была улучшена Сондоу, Николсоном и Ноэ (2011) [5], чтобы
что является оптимальной формой R n ≤ c · p 3 n, поскольку это равенство для n = 5.
