В теории чисел , постулат Бертрана является теорема о том , что для любого целого числа , всегда существует хотя бы одно простое число с участием
Менее ограничительная формулировка: для каждого всегда есть хотя бы одно простое число такой, что
Другая формулировка, где это -е простое число, для
Это утверждение было впервые высказано в 1845 г. Джозефом Бертраном [2] (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех целых чисел..
Его гипотеза была полностью доказана на Чебышева (1821-1894) в 1852 году [3] , и поэтому постулата также называется теоремой Бертрана-Чебышева или теорема Чебышева . Теорема Чебышева также может быть сформулирована как связь с, где это основная функция подсчета (количество простых чисел меньше или равно):
- , для всех .
Теорема о простых числах
Теорема о простых числах (PNT) подразумевает, что количество простых чисел до x примерно равно x / ln ( x ), поэтому, если мы заменим x на 2 x, мы увидим, что количество простых чисел до 2 x асимптотически вдвое превышает количество простые числа до x (члены ln (2 x ) и ln ( x ) асимптотически эквивалентны). Следовательно, количество простых чисел между n и 2 n примерно равно n / ln ( n ), когда n велико, и, в частности, в этом интервале намного больше простых чисел, чем гарантировано постулатом Бертрана. Итак, постулат Бертрана сравнительно слабее, чем PNT. Но PNT - глубокая теорема, в то время как постулат Бертрана может быть сформулирован более запоминающимся и более легко доказанным, а также содержит точные утверждения о том, что происходит при малых значениях n . (Кроме того, теорема Чебышева была доказана до PNT и поэтому имеет исторический интерес.)
Похожая и все еще нерешенная гипотеза Лежандра спрашивает, существует ли для любого n > 1 простое число p такое, что n 2 < p <( n + 1) 2 . Опять же, мы ожидаем, что будет не один, а много простых чисел между n 2 и ( n + 1) 2 , но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел до x 2 асимптотично по отношению к x 2 / ln. ( x 2 ), в то время как количество простых чисел до ( x + 1) 2 асимптотично ( x + 1) 2 / ln (( x + 1) 2 ), что асимптотично оценке простых чисел до x 2 . Таким образом, в отличие от предыдущего случая x и 2 x мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра даже для всех больших n . Оценок погрешности PNT недостаточно (на самом деле не может быть) для доказательства существования хотя бы одного простого числа в этом интервале.
Обобщения
В 1919 году Рамануджан (1887–1920) использовал свойства гамма-функции, чтобы дать более простое доказательство. [4] Краткая статья содержала обобщение постулата, из которого позже возникла концепция простых чисел Рамануджана . Произошли также дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, есть доказательство того, что
с р K на K - е простого числа и R п п - е Рамануджан штриха.
Другие обобщения постулата Бертрана были получены элементарными методами. (Далее n пробегает множество натуральных чисел.) В 2006 г. М. Эль Бакрауи доказал, что существует простое число между 2 n и 3 n . [5] В 1973 году Денис Хэнсон доказал, что существует простое число между 3 n и 4 n . [6] Кроме того, в 2011 году Энди Лу доказал, что при стремлении n к бесконечности количество простых чисел от 3 n до 4 n также стремится к бесконечности, тем самым обобщая результаты Эрдеша и Рамануджана (см. Раздел теоремы Эрдеша ниже) . [ необходима цитата ] Первый результат получается элементарными методами. Второй основан на аналитических оценках факториальной функции.
Теорема Сильвестра
Постулат Бертрана был предложен для приложений к группам перестановок . Сильвестр (1814-1897) обобщил слабое утверждение с утверждением: произведение K последовательных целых чисел больше , чем к является делится на простое число , большее , чем к . Постулат Бертрана (более слабый) следует из этого, если взять k = n и рассмотреть k чисел n + 1, n + 2, вплоть до n + k = 2 n , где n > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из у этих чисел есть простой делитель больше k . Поскольку все эти числа меньше 2 ( k + 1), число с простым делителем больше k имеет только один простой делитель и, следовательно, является простым. Обратите внимание, что 2 n не является простым числом, и теперь мы действительно знаем, что существует простое число p с n < p <2 n .
Теоремы Эрдеша
В 1932 году Эрдеш (1913–1996) также опубликовал более простое доказательство, использующее биномиальные коэффициенты и функцию Чебышева ϑ , определенную как:
где p ≤ x пробегает простые числа. См. Подробности в доказательстве постулата Бертрана . [7]
Эрдеш в 1934 году доказал, что для любого натурального числа k существует такое натуральное число N , что для всех n > N существует не менее k простых чисел между n и 2 n . Эквивалентное утверждение было доказано в 1919 году Рамануджаном (см. Простое число Рамануджана ).
Лучшие результаты
Из теоремы о простых числах следует, что для любого действительного числа Eсть такой, что для всех есть прайм такой, что . Можно показать, например, что
откуда следует, что стремится к бесконечности (и, в частности, больше единицы для достаточно больших ). [8]
Доказаны также неасимптотические оценки. В 1952 году Джитсуро Нагура доказал, что для всегда есть премьер между а также . [9]
В 1976 году Лоуэлл Шенфельд показал, что для, всегда есть простое число в открытом интервале . [10]
В своей докторской диссертации 1998 г. Пьер Дюзар улучшил вышеуказанный результат, показав, что для, , и в частности для , существует простое число в интервале . [11]
В 2010 году Пьер Дюзар доказал, что для есть хотя бы одно простое число в интервале . [12]
В 2016 году Пьер Дюзар улучшил свой результат по сравнению с 2010 годом, показав (Предложение 5.4), что если , есть хотя бы одно простое число в интервале . [13] Он также показывает (следствие 5.5), что для, есть хотя бы одно простое число в интервале .
Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число для всех достаточно больших . [14]
Последствия
- Последовательность простых чисел вместе с 1 представляет собой полную последовательность ; любое положительное целое число можно записать как сумму простых чисел (и 1), используя каждое не более одного раза.
- Единственное целое число гармоники - это число 1. [15]
Смотрите также
Заметки
- ^ Ribenboim Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 181 . ISBN 978-0-387-20169-6.
- ^ Бертран, Жозеф (1845 г.), «Память о числах валерьян, о которых идет речь, о том, что они делают, о том, чтобы переставить летописи qu'elle renferme». , Journal de l'École Royale Polytechnique (на французском языке), 18 (Cahier 30): 123–140.
- ^ Чебычев П. (1852 г.), «Воспоминания о премьерах номеров». (PDF) , Journal de mathématiques pures et appliquées , Серия 1 (на французском языке): 366–390. (Доказательство постулата: 371-382). См. Также Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de Saint Pétersbourg, vol. 7, стр. 15-33, 1854 г.
- ^ Рамануджан, С. (1919). «Доказательство постулата Бертрана» . Журнал Индийского математического общества . 11 : 181–182.
- ^ Эль Бахрауи, Мохамед (2006), «Простые числа в интервале [2n, 3n]», Международный журнал современных математических наук , 1
- ^ Hanson, Denis (1973), "Об одной теореме Сильвестра и Шура", канадский математический вестник , 16 (2): 195-199, DOI : 10,4153 / CMB-1973-035-3.
- ^ Erdős, P. (1932), "Beweis eines Satzes von Tschebyschef" (PDF) , Acta Litt. Sci. (Сегед) (на немецком языке), 5 (1930-1932): 194–198
- ^ GH Харди и Э.М. Райт, Введение в теорию чисел , 6-е изд., Oxford University Press, 2008, стр. 494.
- ^ Нагура, Дж (1952). «На интервале, содержащем хотя бы одно простое число» . Труды Японской академии, Серия А . 28 (4): 177–181. DOI : 10.3792 / PJA / 1195570997 .
- ^ Лоуэлл Шонфельд (апрель 1976 г.). «Более точные оценки для функций Чебышева θ ( x ) и ψ ( x ), II». Математика вычислений . 30 (134): 337–360. DOI : 10.2307 / 2005976 . JSTOR 2005976 .
- ^ Дюсар, Пьер (1998), Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers (PDF) (докторская диссертация) (на французском языке)
- ^ Дюзар, Пьер (2010). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442 [ math.NT ].
- ^ Дюзар, Пьер (2016). «Явные оценки некоторых функций над простыми числами». Журнал Рамануджана . 45 : 227–251. DOI : 10.1007 / s11139-016-9839-4 . S2CID 125120533 .
- ^ Бейкер, RC; Harman, G .; Пинц, Дж. (2001). «Разница между простыми числами, идущими подряд, II». Труды Лондонского математического общества . 83 (3): 532–562. CiteSeerX 10.1.1.360.3671 . DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / 83.3.532 .
- ^ Рональд Л., Грэм; Дональд Э., Кнут; Орен, Паташник (1994). Конкретная математика . Эддисон-Уэсли.
Библиография
- П. Эрдеш (1934). «Теорема Сильвестра и Шура». Журнал Лондонского математического общества . 9 (4): 282–288. DOI : 10,1112 / jlms / s1-9.4.282 .
- Джитсуро Нагура (1952). «На интервале, содержащем хотя бы одно простое число» . Proc. Япония Acad . 28 (4): 177–181. DOI : 10.3792 / PJA / 1195570997 .
- Крис Колдуэлл, постулат Бертрана в глоссарии Prime Pages .
- Х. Рикардо (2005). «Гипотеза Гольдбаха подразумевает постулат Бертрана» . Амер. Математика. Ежемесячно . 112 : 492.
- Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. п. 49. ISBN 978-0-521-84903-6.
- Дж. Сондоу (2009). «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана». Амер. Математика. Ежемесячно . 116 (7): 630–635. arXiv : 0907.5232 . DOI : 10.4169 / 193009709x458609 .
Внешние ссылки
- Сондоу, Джонатан и Вайстейн, Эрик В. «Постулат Бертрана» . MathWorld .
- Доказательство слабой версии в системе Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
- Постулат Бертрана - доказательство слабой версии на www.dimostriamogoldbach.it/en/