Гипотеза Лежандра

Гипотеза Лежандра , предложенная Адрианом-Мари Лежандром , утверждает, что существует простое число от n ² до ( n + 1) ² для любого натурального числа n . Гипотеза является одной из проблем Ландау (1912) на простые числа; по состоянию на 2020 год ^{[Обновить]}это предположение не было ни доказано, ни опровергнуто.

Нерешенная задача по математике :

Всегда ли существует хотя бы одно простое число между n ² и (n + 1) ² ?

(больше нерешенных задач по математике)

Основные промежутки [ править ]

Гипотеза Лежандра является одним из семейства результатов и гипотез , связанных с простыми пробелами , то есть к расстоянию между простыми числами.

График количества простых чисел между n ² и ( n + 1) ² OEIS : A014085

Простое число , теорема говорит о том , что фактическое число простых чисел между п ² и ( п + 1) ² ( OEIS : A014085 ) является асимптотическим к п / п ( п ). Поскольку это число велико при больших n , это подтверждает гипотезу Лежандра.

Если гипотеза Лежандра верна, разрыв между любым простым числом p и следующим по величине простым числом всегда будет не более чем порядка ; ^[a] в большой нотации O пробелы равны . Две сильные гипотезы, гипотеза Andrica в и гипотеза Oppermann в , также как предполагают , что зазоры имеют одинаковую величину. ${\ displaystyle {\ sqrt {p}}}$ ${\ displaystyle O ({\ sqrt {p}})}$

Харальд Крамер предположил, что зазоры всегда намного меньше порядка . Если гипотеза Крамера верна, гипотеза Лежандра будет следовать для всех достаточно больших n . Крамер также доказал, что гипотеза Римана влечет более слабую оценку размера наибольших промежутков между простыми числами. ^[1] ${\ Displaystyle (\ журнал р) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle О ({\ sqrt {p}} \ log p)}$

Контрпример около 10 ¹⁸ потребует простого разрыва в пятьдесят миллионов раз больше среднего разрыва.

Гипотеза Лежандра подразумевает, что по крайней мере одно простое число можно найти в каждой половине оборота спирали Улама .

Частичные результаты [ править ]

Из результата Ингама следует, что для всех достаточно больших между последовательными кубиками и стоит штрих . ^[2] ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п ^ {3}}$ ${\ Displaystyle (п + 1) ^ {3}}$

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число для всех больших . ^[3] ${\ Displaystyle [х, \, х + О (х ^ {21/40})]}$ ${\ displaystyle x}$

Таблица максимальных простых промежутков показывает, что гипотеза верна, по крайней мере , в смысле . ^[4] ${\ Displaystyle п ^ {2} = 4 \ cdot 10 ^ {18}}$ $n=2\cdot 10^{9}$

См. Также [ править ]

Постулат Бертрана
Гипотеза Брокара
Гипотеза Фирозбахта

Примечания и ссылки [ править ]

^ a Это следствие того факта, что разница между двумя последовательными квадратами порядка их квадратных корней.

^ Стюарт, Ян (2013), Видения бесконечности: Великие математические проблемы , Основные книги, стр. 164, ISBN 9780465022403 CS1 maint: discouraged parameter (link).
^ OEIS : A060199
^ Бейкер, RC; Harman, G .; Пинц, Дж. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II» (PDF) . Труды Лондонского математического общества . 83 (3): 532–562. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / 83.3.532 .
↑ Oliveira e Silva, Tomás; Герцог, Зигфрид; Пардите, Сильвио (2014), «Эмпирическая проверка даже гипотезы Гольдбаха и вычисления простых зазоров до », математик вычислений , 83 (288): 2033-2060, DOI : 10,1090 / S0025-5718-2013-02787-1 , Руководство по ремонту 3194140 $4\cdot 10^{18}$ .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Лежандра» . MathWorld .
Хашимото, Цутому (2008). «Об определенной связи между гипотезой Лежандра и постулатом Бертрана». arXiv : 0807.3690 [ math.GM ].
Митра, Адвей; Пол, Гаутам; Саркар, Ушниш (2009). «Некоторые предположения о количестве простых чисел в определенных интервалах». arXiv : 0906.0104 [ math.NT ].
Паз, немецкий (2013). «О догадках Лежандра, Брокара, Андирки и Оппермана». arXiv : 1310,1323 [ math.NT ].

Эта статья по теории чисел незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Стюарт, Ян (2013), Видения бесконечности: Великие математические проблемы , Основные книги, стр. 164, ISBN 9780465022403 CS1 maint: discouraged parameter (link).

[2] OEIS : A060199

[baker-3] Бейкер, RC; Harman, G .; Пинц, Дж. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II» (PDF) . Труды Лондонского математического общества . 83 (3): 532–562. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / 83.3.532 .

[4] Oliveira e Silva, Tomás; Герцог, Зигфрид; Пардите, Сильвио (2014), «Эмпирическая проверка даже гипотезы Гольдбаха и вычисления простых зазоров до », математик вычислений , 83 (288): 2033-2060, DOI : 10,1090 / S0025-5718-2013-02787-1 , Руководство по ремонту 3194140 $4\cdot 10^{18}$ .

[a]