Главный разрыв

Распределение частот основного разрыва для простых чисел до 1,6 миллиарда. Пики кратны 6. ^[1]

Простой разрыв представляет собой разность между двумя последовательными простыми числами . П -го простого разрыва, обозначим г _п или г ( р _п ) представляет собой разность между ( п  + 1) -го и п -го простых чисел, т.е.

${\ displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}. \}$

Имеем g ₁ = 1, g ₂ = g ₃ = 2 и g ₄ = 4. Последовательность ( g _n ) простых пробелов широко изучена; однако многие вопросы и домыслы остаются без ответа.

Первые 60 простых промежутков:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (последовательность A001223 в OEIS ).

По определению g _n каждое простое число можно записать как

${\ displaystyle p_ {n + 1} = 2 + \ sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i}.}$

Простые наблюдения [ править ]

Первое, наименьшее и единственное нечетное простое число - это промежуток размера 1 между 2, единственным четным простым числом, и 3, первым нечетным простым числом. Все остальные простые промежутки равны. Есть только одна пара последовательных промежутков длиной 2: промежутки g ₂ и g ₃ между простыми числами 3, 5 и 7.

Для любого целого числа п , то факториала п ! является произведением всех натуральных чисел до n включительно . Тогда в последовательности

${\ Displaystyle п! + 2, п! +3, \ ldots, п! + п}$

первый член делится на 2, второй член делится на 3 и так далее. Таким образом, это последовательность из n - 1 последовательных составных целых чисел, и она должна принадлежать промежутку между простыми числами, длина которых не меньше n . Отсюда следует , что существует промежутки между штрихами , которые являются сколь угодно большим, то есть, для любого целого числа N , существует целое число т с г _м ≥ Н .

Однако пропуски простых чисел из n чисел могут возникать в числах, намного меньших, чем n !. Например, первый пробел между простыми числами 523 и 541, а размер 15! - это значительно большее число 1307674368000.

Средний промежуток между простыми числами увеличивается как натуральный логарифм целого числа, и поэтому отношение промежутка между простыми числами к задействованным целым числам уменьшается (и асимптотически равно нулю). Это следствие теоремы о простых числах . С эвристической точки зрения, мы ожидаем, что вероятность того, что отношение длины промежутка к натуральному логарифму больше или равно фиксированному положительному числу k, будет равняться e ^{- k} ; следовательно, отношение может быть сколь угодно большим. Действительно, отношение промежутка к количеству цифр целых чисел неограниченно увеличивается. Это следствие результата Вестзинтиуса. ^[2]

В противоположном направлении гипотеза о двойных простых числах утверждает, что g _n = 2 для бесконечного числа целых n .

Численные результаты [ править ]

Обычно соотношение по г _п / п ( р _п ) называется достоинством зазора г _н  . По состоянию на сентябрь 2017 ^{[Обновить]}года самый большой известный промежуток между простыми числами с идентифицированными вероятными концами промежутков между простыми числами имел длину 6582144, с 216841-значными вероятными простыми числами, найденными Мартином Раабом. ^[3] Этот разрыв имеет достоинства M  = 13,1829. Самый большой известный пробел с идентифицированными проверенными простыми числами в качестве концов пробела имеет длину 1113106 и критерий 25,90, с 18662-значными простыми числами, найденными П. Ками, М. Янсеном и Дж. К. Андерсеном. ^{[4] [5]}

По состоянию на декабрь 2017 года ^{[Обновить]}, наибольшее известное значение заслуг и первое с заслугой более 40, обнаруженное сетью Gapcoin , составляет 41,93878373 с 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. [Следующий простой промежуток - это промежуток между числом 8350 ^].

Отношение Крамера – Шанкса – Гранвилля - это отношение g _n / (ln ( p _n )) ² . ^[6] Если отбросить аномально высокие значения отношения для простых чисел 2, 3, 7, то наибольшее известное значение этого отношения будет 0,9206386 для простого числа 1693182318746371. Другие условия записи можно найти в OEIS :  A111943 .

Мы говорим, что g _n - максимальная щель , если g _m < g _n для всех m < n . По состоянию на август 2018 ^{[Обновить]}года наибольший известный максимальный промежуток между простыми числами имел длину 1550, найденную Бертилом Найманом. Это 80-й максимальный разрыв, и он происходит после простого 18361375334787046697. ^[10] Другие рекордные (максимальные) размеры разрыва можно найти в OEIS :  A005250 , с соответствующими простыми числами p _n в OEIS :  A002386 и значениями n в OEIS :  A005669. Предполагается, что последовательность максимальных пробелов до n- го простого числа имеет около членов ^[11] (см. Таблицу ниже).${\ Displaystyle 2 \ ln п}$

Дальнейшие результаты [ править ]

Верхняя граница [ править ]

Постулат Бертрана , доказанный в 1852 году, гласит, что всегда существует простое число от k до 2 k , поэтому, в частности, p _{n +1}  <2 p _n , что означает g _n  <  p _n .

Теорема о простых числах , доказанная в 1896 году, гласит, что средняя длина промежутка между простым числом p и следующим простым числом будет асимптотически приближаться к ln ( p ) для достаточно больших простых чисел. Фактическая длина промежутка может быть намного больше или меньше этой. Однако из теоремы о простых числах можно вывести верхнюю оценку длины промежутков между простыми числами:

Для каждого есть такое число , что для всех ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle n> N}$

${\ displaystyle g_ {n} <p_ {n} \ epsilon}$.

Можно также сделать вывод, что промежутки становятся сколь угодно меньше пропорционально простым числам: частное

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {g_ {n}} {p_ {n}}} = 0.}$

Хохейзель (1930) первым показал ^[12], что существует постоянная θ <1 такая, что

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}$

таким образом показывая, что

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}$

для достаточно больших  n .

Хохейзель получил возможное значение 32999/33000 для θ. Это был улучшен до 249/250 по Хейльбронном , ^[13] и в = 3/4 + ε, для любого е> 0, то по Чудакова . ^[14]

Главное усовершенствование связано с Ингам , ^[15] , который показал , что для некоторой положительной постоянной с , если

${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})\,}$тогда для любого${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}$${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}$

Здесь O относится к обозначению большого O , ζ обозначает дзета-функцию Римана, а π - функцию подсчета простых чисел . Зная, что любое c > 1/6 допустимо, получаем, что θ может быть любым числом больше 5/8.

Непосредственным следствием результата Ингама является то, что всегда существует простое число между n ³ и ( n + 1) ³ , если n достаточно велико. ^[16] Гипотеза Линделёфа будет означать, что формула Ингама верна для любого положительного числа c : но даже этого было бы недостаточно, чтобы подразумевать, что существует простое число между n ² и ( n + 1) ² для достаточно большого n (см. Формулу Лежандра гипотеза ). Чтобы проверить это, потребуется более сильный результат, такой как гипотеза Крамера .

Хаксли в 1972 г. показал, что можно выбрать θ = 7/12 = 0,58 (3). ^[17]

Результат, сделанный Бейкером, Харманом и Пинцем в 2001 г., показывает, что θ можно принять равным 0,525. ^[18]

В 2005 году Даниэль Голдстон , Янош Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

и 2 года спустя улучшил это ^[19] до

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

В 2013 году Итан Чжан доказал, что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}$

Это означает, что существует бесконечно много пробелов, не превышающих 70 миллионов. ^[20] Polymath Проект совместных усилий по оптимизации Чжан Bound удалось опустить связан с 4680 по 20 июля 2013 г. ^[21] В ноябре 2013, Джеймс Мэйнард представил новую утонченность GPY решето, что позволяет ему уменьшить связанный с 600 и покажем, что для любого m существует ограниченный интервал с бесконечным числом трансляций, каждый из которых содержит m простых чисел. ^[22] Используя идеи Мейнарда, проект Polymath улучшил границу до 246; ^{[21] [23] в} предположении гипотезы Эллиотта – Хальберштама ив обобщенном виде N было сокращено до 12 и 6 соответственно. ^[21]

Нижние границы [ править ]

В 1931 году Эрик Вестзинтиус доказал, что максимальные промежутки между простыми числами растут более чем логарифмически. То есть ^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

В 1938 г. Роберт Рэнкин доказал существование постоянной c  > 0 такой, что неравенство

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

выполняется для бесконечного числа значений n , улучшая результаты Вестзинтиуса и Пола Эрдеша . Позже он показал, что можно взять любую постоянную c  <  e ^γ , где γ - постоянная Эйлера – Маскерони . В 1997 г. значение константы c было улучшено до любого значения меньше 2 e ^γ . ^[24]

Пол Эрдеш предложил приз в размере 10 000 долларов за доказательство или опровержение того, что константа c в приведенном выше неравенстве может быть взята произвольно большой. ^[25] Это было доказано в 2014 г. Форд-Грин-Конягин-Тао и, независимо, Джеймс Мейнард . ^{[26] [27]}

Результат был улучшен до

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

для бесконечного числа значений n Форда – Грина – Конягина – Мейнарда – Тао. ^[28]

В духе первоначального приза Эрдёша Теренс Тао предложил 10 000 долларов США за доказательство того, что c может быть принято произвольно большим в этом неравенстве. ^[29]

Также определены нижние оценки цепочек простых чисел. ^[30]

Домыслы о промежутках между простыми числами [ править ]

Даже лучшие результаты возможны в рамках гипотезы Римана . Харальд Крамер доказал ^[31], что из гипотезы Римана следует, что щель g _n удовлетворяет

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

используя большое обозначение O . (На самом деле для этого результата нужна только более слабая гипотеза Линделёфа , если вы можете допускать бесконечно меньший показатель степени. ^[32] ) Позже он предположил, что пробелы еще меньше. Грубо говоря, гипотеза Крамера утверждает, что

${\displaystyle g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).}$

Гипотеза Firoozbakht в гласит , что (где есть п - е простое число) является строго убывающей функцией от п , т.е.${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.}$

Если эта гипотеза верна, то функция удовлетворяет ^[33]. Из нее следует сильная форма гипотезы Крамера, но она несовместима с эвристиками Гранвиля и Пинца ^{[34] [35] [36],} которые предполагают, что бесконечно часто для любого где обозначает Постоянная Эйлера – Маскерони .${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.}$${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \gamma }$

Между тем гипотеза Оппермана слабее гипотезы Крамера. Ожидаемый размер разрыва с гипотезой Оппермана порядка

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

В результате, согласно гипотезе Оппермана - существует (вероятно ), для которого каждое натуральное число удовлетворяет${\displaystyle m}$${\displaystyle m=30}$${\displaystyle n>m}$${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.}$

Гипотеза Андрицы , которая является более слабой, чем гипотеза Оппермана, утверждает, что ^[37]

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Это небольшое усиление гипотезы Лежандра о том, что между последовательными квадратными числами всегда есть простое число.

Гипотеза Полиньяка утверждает, что каждое положительное четное число k бесконечно часто встречается как простой промежуток. Случай k  = 2 является гипотезой о простых двойниках . Гипотеза еще не была доказана или опровергнута ни для какого конкретного значения  k , но результат Чжан Итана доказывает, что она верна по крайней мере для одного (в настоящее время неизвестного) значения k, которое меньше 70 000 000; как обсуждалось выше, эта верхняя граница была улучшена до 246.

Как арифметическая функция [ править ]

Разрыв g _n между n- м и ( n  + 1) -м простыми числами является примером арифметической функции . В этом контексте это обычно обозначается d _n и называется функцией простых разностей. ^[37] Функция не является ни мультипликативной, ни аддитивной .

См. Также [ править ]

• Неравенство Бонса
• Гауссов ров
• Твин премьер

Ссылки [ править ]

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Саундарараджан, Каннан (2007). «Небольшие промежутки между простыми числами: работа Голдстона-Пинца-Йылдырыма». Бык. Являюсь. Математика. Soc . Новая серия. 44 (1): 1–18. arXiv : math / 0605696 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-06-01142-6 . S2CID  119611838 . Zbl  1193.11086 .
• Михэилеску, Преда (июнь 2014 г.). «О некоторых гипотезах в аддитивной теории чисел» (PDF) . Информационный бюллетень Европейского математического общества (92): 13–16. doi : 10.4171 / НОВОСТИ . hdl : 2117/17085 . ISSN  1027-488X .

Внешние ссылки [ править ]

• Томас Р. Найсли , Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел - вычислительная теория чисел . Этот справочный веб-сайт включает список всех первых известных пробелов.
• Вайсштейн, Эрик В. "Функция простых разностей" . MathWorld .
• «Функция простой разности» . PlanetMath .
• Армин Шамс, повторное расширение теоремы Чебышева о гипотезе Бертрана , не включает «произвольно большую» константу, как некоторые другие опубликованные результаты.
• Крис Колдуэлл , « Разрывы между простыми числами» ; элементарное введение
• Эндрю Гранвилл , Простые числа в интервалах ограниченной длины ; обзор результатов, полученных до сих пор, вплоть до работы Джеймса Мейнарда в ноябре 2013 г.