В математике , и в частности в аналитической теории чисел , формула Перрона - это формула, придуманная Оскаром Перроном для вычисления суммы арифметической функции посредством обратного преобразования Меллина .
Заявление
Позволять - арифметическая функция , и пусть
- соответствующий ряд Дирихле . Предположим, что ряд Дирихле сходится равномерно при. Тогда формула Перрона
Здесь штрих у суммирования означает, что последний член суммы должен быть умножен на 1/2, если x является целым числом . Интеграл не является сходящимся интегралом Лебега ; это понимается как главная ценность Коши . Формула требует, чтобы c > 0, c > σ и x > 0.
Доказательство
Простой набросок доказательства получается из формулы суммы Абеля
Это не что иное, как преобразование Лапласа при замене переменной Обращая его, мы получаем формулу Перрона.
Примеры
Из-за своей общей связи с рядами Дирихле формула обычно применяется ко многим теоретико-числовым суммам. Так, например, есть знаменитое интегральное представление дзета-функции Римана :
и аналогичная формула для L -функций Дирихле :
где
а также является персонажем Дирихле . Другие примеры приводятся в статьях о функции Мертенса и функции Мангольдта .
Обобщения
Формула Перрона - это просто частный случай дискретной свертки Меллина
где
а также
преобразование Меллина. Формула Перрона - это всего лишь частный случай тестовой функции для ступенчатой функцией Хевисайда .
Рекомендации
- Страница 243 Апостола, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001
- Вайсштейн, Эрик В. «Формула Перрона» . MathWorld .
- Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 46 . Перевод CB Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 .