В математических областях общей топологии и дескриптивной теории множеств , множество скудного (также называется множество скудного или множество первой категории ) является набор , который, рассматриваемым как подмножество А (обычно больше) топологического пространства , в точном чувство маленькое или незначительное . Топологическое пространство T называется скудным, если оно является скудным подмножеством самого себя; в противном случае он называется немеченым .
Скудные подмножества фиксированного пространства образуют σ-идеал подмножеств; то есть, любое подмножество множества скудного является тощим, и объединением из счетного числа множеств скудных является тощим. Общие топологи используют термин пространство Бэра для обозначения широкого класса топологических пространств, для которых понятие скудного множества нетривиально (в частности, все пространство не является скудным). Теоретики описательных множеств в основном изучают скудные множества как подмножества действительных чисел или, в более общем смысле, любое польское пространство , и резервируют термин « пространство Бэра» для одного конкретного польского пространства.
Дополнением множества скудного является множество comeagre или остаточное множество . Набор, который не является скудным, называется немеченым и относится ко второй категории . Обратите внимание, что понятия совокупного множества и немарочного множества не эквивалентны.
Определение
На всем протяжении X будет топологическим пространством.
Подмножество B топологического пространства X называется нигде не плотным или редким в X, если его замыкание имеет пустую внутренность . Эквивалентно, B нигде не плотно в X, если для каждого открытого множества набор не плотным в U .
Обратите внимание, что замкнутое подмножество X нигде не является плотным, если и только если его внутренность в X пуста.
Подмножество топологического пространства X называется тощим в X , A скудный югу набор из X , или из первой категории в X , если оно является счетным объединением нигде не плотных подмножеств X . Подмножество имеет второй категории или nonmeagre в X , если оно не первой категории в X .
Топологическое пространство называется скудным (соответственно немирным ), если оно является скудным (или немирным) подмножеством самого себя.
- Предупреждение : Если S является подмножеством X тогда , когда мы говорим , что S является скудным югом пространством из X , то мы имеем в виду , что , когда S наделен топологией подпространства (индуцированное X ) , то S является скудным топологическим пространство (т.е. S является скудное подмножество S ). В противоположность этому , если мы говорим , что S является скудный югу набор из X , то мы имеем в виду , что оно равно счетного объединения нигде не плотных подмножеств X . То же самое относится к нестрогим подмножествам и подпространствам.
Подмножество из X является comeagre в X , если его дополнение является тощим в X . Точно так же это пересечение счетного множества множеств с плотным внутренним пространством.
Важно отметить, что принадлежать ко второй категории - это не то же самое, что быть сошедшимся - набор может быть ни скудным, ни скудным (в этом случае он будет второй категории).
Примеры и достаточные условия
Пусть T - топологическое пространство.
Скудные суб наборы и вложенные пространства
- Одноэлементный набор всегда представляет собой не скудное подпространство (то есть не скудное топологическое пространство). Если это изолированная точка, то это также не скудное подмножество; обратное верно в пространстве T 1 .
- Любое подмножество скудного набора - это скудный набор. [1]
- Всякое нигде не плотное подмножество - это скудное множество. [1]
- Объединение счетного множества скудных множеств тоже скудное множество. [1]
- Счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек скудно. [2]
- Любое топологическое пространство, содержащее изолированную точку, немощно. [2]
- Любое дискретное пространство не является скудным. [2]
- Каждое пространство Бэра не является скудным, но существуют немудренные пространства, которые не являются пространствами Бэра. [2]
- Поскольку полные метрические пространства, а также хаусдорфовы локально компактные пространства являются пространствами Бэра, они также не являются скудными пространствами.
- Набор является скудное суб установить из Несмотря на то это не скудное подпространство (т.е.не скудное топологическое пространство). [2]
- Поскольку рациональные числа счетны, они скудны как подмножество действительных чисел и как пространство, то есть они не образуют пространство Бэра .
- Канторовым скудный как подмножество вещественных чисел, но не как подмножество самого по себе, так как она является полным метрическим пространством и, таким образом, пространство Бэра , по теореме Бэра категории .
- Если является гомеоморфизмом, то подмножество S в X является скудным тогда и только тогда, когдаскудный. [1]
Подмножество Comeagre
- Любой расширенный набор из набора Comeagre
- пересечение счетного множества сходящихся множеств совпадает.
- Это следует из того факта, что счетное объединение счетных множеств счетно.
Функциональные пространства
- Набор функций, которые в какой-то момент имеют производную, представляет собой скудный набор в пространстве всех непрерывных функций . [3]
Характеристики
- Теорема Банаха о категории: В любом пространстве X объединение любого счетного семейства открытых множеств первой категории относится к первой категории. [4]
- Немногочисленное локально выпуклое топологическое векторное пространство - это бочкообразное пространство . [2]
Скудные подмножества и мера Лебега
Скудный набор не обязательно должен иметь нулевую меру . Нигде не существует плотных подмножеств (которые, таким образом, являются скудными) с положительной мерой Лебега . [2]
Связь с борелевской иерархией
Так же, как нигде не плотное подмножество не обязательно должно быть замкнутым, но всегда содержится в замкнутом нигде не плотном подмножестве (а именно, его замыкание), скудное множество не обязательно должно быть множеством F σ (счетное объединение замкнутых множеств), но всегда содержится в множестве F σ, сделанном из нигде не плотных множеств (путем замыкания каждого множества).
Двойственно, так же, как дополнение к нигде не плотному множеству не обязательно должно быть открытым, но имеет плотную внутренность (содержит плотное открытое множество), общее множество не обязательно должно быть множеством G δ (счетное пересечение открытых множеств), но содержит плотное множество G δ, образованное из плотных открытых множеств.
Игра Банаха – Мазура
У скудных множеств есть полезная альтернативная характеристика в терминах игры Банаха – Мазура . Пусть Z - топологическое пространство,- семейство подмножеств Z , у которых есть непустые внутренности, такие, что каждое непустое открытое множество имеет подмножество, принадлежащееи Z быть любое подмножество Z . Тогда существует игра Банаха – Мазура, соответствующаяВ игре Банаха – Мазура два игрока, P и Q , поочередно выбирают последовательно меньшие элементы произвести последовательность Игрок P выигрывает, если пересечение этой последовательности содержит точку в X ; в противном случае игрок Q выигрывает.
- Теорема : для любого удовлетворяя вышеуказанным критериям, игрок Q имеет выигрышную стратегию тогда и только тогда, когда X скуден.
Смотрите также
- Теорема Бэра о категории - О топологических пространствах, где пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно
- Пространство Бэра
- Родовое свойство , для аналогов остаточному
- Незначительный набор , для аналогов скудным
- Нигде плотный набор
- Собственность Бэра
Заметки
- ^ a b c d Рудин 1991 , с. 43.
- ^ a b c d e f g Narici & Beckenstein 2011 , стр. 371-423.
- Перейти ↑ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen" . Studia Math . 3 (1): 174–179.
- ^ Окстоби, Джон С. (1980). "Теорема Банаха о категории" . Мера и категория (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 62–65. ISBN 0-387-90508-1.
Библиография
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Внешние ссылки
- Есть ли набор нулевой меры, который не является скудным?