В математике , то функция Дирихле [1] [2] является функцией индикатора 1 ℚ множества рациональных чисел ℚ, т.е. 1 ℚ ( х ) = 1 , если х является рациональным числом и 1 ℚ ( х ) = 0 , если х не является рациональным числом (т.е. иррациональным числом ).
Он назван в честь математика Питера Густава Лежена Дирихле . [3] Это пример патологической функции, которая дает контрпримеры для многих ситуаций.
Топологические свойства
- Функция Дирихле нигде не является непрерывной .
- Если y рационально, то f ( y ) = 1 . Чтобы показать, что функция не является непрерывной в y , нам нужно найти такое ε , что независимо от того, насколько малым мы выберем δ , в пределах δ от y будут точки z, такие что f ( z ) не находится в пределах ε от f ( y ). = 1 . Фактически, 1/2 и есть такое ε . Поскольку иррациональные числа являются плотными в реалов, независимо от того , что & delta мы выбираем , мы всегда можем найти иррациональное г в пределах б о у и е ( г ) = 0 , по крайней мере 1/2 от 1.
- Если y иррационально, то f ( y ) = 0 . Опять же, мы можем взять ε = 1/2 , и на этот раз, поскольку рациональные числа плотны в действительных числах, мы можем выбрать z как рациональное число, настолько близкое к y, насколько это требуется. Опять же, f ( z ) = 1 больше чем на 1/2 от f ( y ) = 0 .
- Его ограничения на множество рациональных чисел и на множество иррациональных чисел являются постоянными и, следовательно, непрерывными. Функция Дирихле является типичным примером теоремы Блюмберга .
- Функцию Дирихле можно построить как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом:
- для целых j и k . Это показывает, что функция Дирихле является функцией класса Бэра 2. Это не может быть функция Бэра класса 1, потому что функция Бэра класса 1 может быть прерывистой только на скудном множестве . [4]
Периодичность
Для любого вещественного числа х и любого положительного рационального числа Т , 1 ℚ ( х + Т ) = 1 ℚ ( х ). Таким образом, функция Дирихле является примером действительной периодической функции, которая не является постоянной, но чей набор периодов, набор рациональных чисел, является плотным подмножеством .
Свойства интеграции
- Функция Дирихле не интегрируема по Риману ни на каком отрезке, тогда как она ограничена, поскольку множество ее точек разрыва не является незначительным (для меры Лебега ).
- Функция Дирихле представляет собой контрпример, показывающий, что теорема о монотонной сходимости неверна в контексте интеграла Римана.
Используя перечисление рациональных чисел между 0 и 1, мы определяем функцию f n (для всех неотрицательных целых n ) как индикаторную функцию набора первых n членов этой последовательности рациональных чисел. Возрастающая последовательность функций f n (неотрицательных, интегрируемых по Риману с исчезающим интегралом) поточечно сходится к функции Дирихле, которая не является интегрируемой по Риману.
- Функция Дирихле интегрируема по Лебегу на, и ее интеграл по равен нулю, поскольку он равен нулю, за исключением множества рациональных чисел, которым можно пренебречь (для меры Лебега).
Рекомендации
- ^ "Функция Дирихле" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Функция Дирихле - из MathWorld
- ^ Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). "Sur la congence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction armitraire entre des limites données" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 4 : 157–169.
- ^ Данэм, Уильям (2005). Галерея исчислений . Издательство Принстонского университета . п. 197. ISBN 0-691-09565-5.