Функция Бэра

В математике , Бэровские функции являются функциями , полученные из непрерывных функций трансфинитной итерации операции формирования пределов поточечных последовательностей функций. Они были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году. Множество Бэра - это множество, характеристическая функция которого является функцией Бэра. (Есть и другие, почти эквивалентные, но неэквивалентные определения множеств Бэра.)

Классификация функций Бэра [ править ]

Бэровские функции класса а, для любого счетного порядкового числа а, образуют векторное пространство из реальных значных функций , определенных на топологическом пространстве , следующим образом .

Функции Бэра класса 0 являются непрерывными функциями .
Функции Бэра класс 1 являются теми функциями , которые являются пределом точечен из последовательности класса 0 бэровских функций.
В общем, все функции класса Бэра α - это все функции, которые являются поточечным пределом последовательности функций класса Бэра, меньшего, чем α.

Некоторые авторы определяют классы несколько иначе, удаляя все функции класса меньше α из функций класса α. Это означает, что каждая функция Бэра имеет четко определенный класс, но функции данного класса больше не образуют векторное пространство.

Анри Лебег доказал, что (для функций на единичном интервале ) каждый класс Бэра счетного порядкового числа содержит функции, не принадлежащие никакому меньшему классу, и что существуют функции, которые не принадлежат ни одному классу Бэра.

Класс Бэра 1 [ править ]

Примеры:

Производная любой дифференцируемой функции принадлежит классу 1. Пример дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывным (при х = 0) является функция , равная когда это х ≠ 0, и 0 при х = 0 бесконечной суммы аналогично функции (масштабированные и смещенные рациональными числами ) могут даже давать дифференцируемую функцию, производная которой разрывна на плотном множестве. Однако он обязательно имеет точки непрерывности, что легко следует из характеризационной теоремы Бэра (ниже; возьмем K = X = R ). ${\ Displaystyle х ^ {2} \ грех (1 / х)}$
Характеристическая функция набора целых чисел , равная 1, если x является целым числом, и 0 в противном случае. (Бесконечное количество крупных разрывов.)
Функция Тома, равная 0 для иррационального x и 1 / q для рационального числа p / q (в приведенной форме). (Плотное множество разрывов, а именно множество рациональных чисел.)
Характеристическая функция множества Кантора , которая равна 1, если x находится в множестве Кантора, и 0 в противном случае. Эта функция равна 0 для бесчисленного набора значений x и 1 для бесчисленного набора. Оно прерывно, если оно равно 1, и непрерывно, если оно равно 0. Оно аппроксимируется непрерывными функциями , где - расстояние x от ближайшей точки в канторовом множестве. ${\ displaystyle g_ {n} (x) = \ max (0, {1-ая (x, C)})}$ ${\ Displaystyle д (х, С)}$

Бэра Характеристика теорема утверждает , что функция реального F , определенные на банаховое пространстве X является функцией Бэра-1 тогда и только тогда , когда для каждого непустого замкнутого подмножества K из X , то ограничение на F до K имеет точку непрерывности по отношению в топологии из K .

По другой теореме Бэра, для каждой функции Бэра-1 точка непрерывности является comeager G _{& delta} ; множество ( А. Кехрис 1 995 , теорема (24,14)).

Класс Бэра 2 [ править ]

Примером функции Бэра класса 2 на интервале [0,1], которая не принадлежит классу 1, является характеристическая функция рациональных чисел , также известная как функция Дирихле, которая всюду разрывна . ${\ displaystyle \ chi _ {\ mathbb {Q}}}$

Доказательство -

Приведем два доказательства.

Это можно увидеть, заметив, что для любого конечного набора рациональных чисел характеристическая функция для этого набора равна Бэру 1: а именно, функция сходится тождественно к характеристической функции , где - конечный набор рациональных чисел. Поскольку рациональные числа счетны, мы можем посмотреть на поточечный предел этих вещей , где - перечисление рациональных чисел. Это не Бэр-1 по упомянутой выше теореме: множество разрывов - это весь интервал (разумеется, множество точек непрерывности не сходится). ${\ displaystyle g_ {n} (x) = \ max (0, {1-ая (x, K)})}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K_ {n} = \ {r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n} \}}$ ${\ displaystyle r_ {n}}$
Функцию Дирихле можно построить как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом:

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ quad \ chi _ {\ mathbb {Q}} (x) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (\ lim _ {j \ to \ infty} \ left (\ cos (k! \ pi x) \ right) ^ {2j} \ right)}

для целых j и k .

Класс Бэра 3 [ править ]

Пример таких функций задаются индикатором множества нормальных чисел , который представляет собой борелевское множество из ранга 3 .

См. Также [ править ]

Набор Бэра
Непрерывная функция в никуда

Ссылки [ править ]

Бэр, Рене-Луи (1899). Sur les fonctions de variable réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
Бэр, Рене-Луи (1905), Leçons sur les fonctions прекращает свое существование, Professées au collège de France , Готье-Виллар.
Кехрис, Александр С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Springer-Verlag.

Внешние ссылки [ править ]

Статья Springer Encyclopaedia of Mathematics о классах Бэра