Теорема Жордана

Иллюстрация теоремы о кривой Жордана. Кривая Жордана (нарисованная черным цветом) делит плоскость на «внутреннюю» область (голубой) и «внешнюю» область (розовая).

В топологии , А кривая Жордана , иногда называют плоскостью простой замкнутой кривой , не является самопересекающийся непрерывной петли в плоскости. ^[1] Теорема Жордана утверждает, что каждая жорданова кривая делит плоскость на «внутреннюю» область, ограниченную кривой, и «внешнюю» область, содержащую все ближайшие и далекие внешние точки, так что каждый непрерывный путь, соединяющий точку одного региона в точку другого пересекается где-то с этой петлей. Хотя утверждение этой теоремы кажется интуитивно очевидным, требуется определенная изобретательность, чтобы доказать ее элементарными средствами.«Хотя JCT - одна из самых известных топологических теорем, многие, даже среди профессиональных математиков, никогда не читали ее доказательств». ( Тверберг (1980 , Введение)). Более прозрачные доказательства опираются на математический аппарат алгебраической топологии и приводят к обобщениям на многомерные пространства.

Теорема Жордана о кривой названа в честь математика Камиллы Джордан (1838–1922), который нашел ее первое доказательство. В течение десятилетий математики считали это доказательство ошибочным и что первое строгое доказательство было проведено Освальдом Вебленом . Однако это мнение было опровергнуто Томасом К. Хейлзом и другими.

Определения и формулировка теоремы Жордана [ править ]

Кривая Жордана или простой замкнутой кривой в плоскости R ² представляет собой изображение С из инъективного непрерывного отображения о наличии окружности в плоскости, φ : S ¹ → R ² . Джордан дуги в плоскости есть образ инъективного непрерывного отображения замкнутого и ограниченного интервала $[ , Ь]$ в плоскость. Это плоская кривая, которая не обязательно гладкая или алгебраическая .

С другой стороны , кривая Жордана есть образ непрерывного отображения ф : [0,1] → R ² такие , что φ (0) = φ (1) и ограничение ф на [0,1) является инъекцией. Первые два условия говорят, что C - непрерывный цикл, тогда как последнее условие оговаривает, что C не имеет точек самопересечения.

С этими определениями теорему о жордановой кривой можно сформулировать следующим образом:

Пусть C кривая Jordan в плоскости R ² . Тогда его дополнение , R ² \ C , состоит ровно две компоненты связности . Одна из этих компонент ограничена ( внутренняя ), а другая неограничена ( внешняя ), а кривая C является границей каждой компоненты.

Напротив, дополнение к жордановой дуге на плоскости связно.

Доказательства и обобщения [ править ]

Теорема Жордана о кривой была независимо обобщена на высшие измерения Х. Лебегом и Л.Е. Брауэром в 1911 году, что привело к теореме Жордана – Брауэра об отделимости .

Пусть X - n -мерная топологическая сфера в ( n +1) -мерном евклидовом пространстве R ^{n +1} ( n > 0), т.е. образ инъективного непрерывного отображения n -сферы S ⁿ в R ^{n +1.} . Тогда дополнение Y к X в R ^{n +1} состоит ровно из двух компонент связности. Одна из этих компонент ограничена (внутренняя), а другая неограничена (внешняя). Множество X - их общая граница.

Доказательство использует теорию гомологий . Сначала устанавливается, что в более общем случае, если X гомеоморфно k -сфере, то приведенные целочисленные группы гомологий Y = R ^{n +1} \ X следующие:

{\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {q} (Y) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z}, & q = nk {\ text {или}} q = n, \\\ {0 \ }, & {\ text {иначе}}. \ end {case}}}

Это доказывается индукцией по k с использованием последовательности Майера – Виеториса . При п = к , нулевой уменьшается гомологии Y имеет ранг 1, что означает , что Y имеет 2 подключенные компоненты (которые, к тому же , связанные пути ), а также с небольшим количеством дополнительной работы, один показывает , что их общая граница Х . Дальнейшее обобщение было найдено Дж. В. Александером , который установил двойственность Александера между редуцированными гомологиями компактного подмножества X в R ^{n +1.}и приведенные когомологии его дополнения. Если X - n -мерное компактное связное подмногообразие в R ^{n +1} (или S ^{n +1} ) без края, его дополнение имеет 2 компоненты связности.

Существует усиление теоремы Жордана, называют Жордан-Шенфлис теорема , в которой говорится о том , что внутренняя и наружных плоских участках определяются кривым Жордан в R ² являются гомеоморфными к внутреннему и внешнему виду единичного круга . В частности, для любой точки P во внутренней области и точки A на жордановой кривой существует жорданова дуга, соединяющая P с A и, за исключением конечной точки A , полностью лежащая во внутренней области. Альтернативная и эквивалентная формулировка теоремы Жордана – Шенфлиса утверждает, что любая жорданова кривая φ: S ¹ → R ² , где S ¹ рассматривается как единичная окружность на плоскости, можно продолжить до гомеоморфизма ψ : R ² → R ² плоскости. В отличие от обобщения Лебега и брауэровском теоремы Жордана, это утверждение становится ложным в высших измерениях: в то время как внешность единичного шара в R ³ является односвязной , так как он втягивается на единичной сфере, то Александр рогатая сфера является подмножеством R ³гомеоморфна сфере , но так скручена в пространстве, что неограниченная компонента ее дополнения в R ³ не является односвязной и, следовательно, не гомеоморфна внешности единичного шара.

История и дальнейшие доказательства [ править ]

Утверждение теоремы о жордановой кривой поначалу может показаться очевидным, но доказать эту теорему довольно сложно. Бернар Больцано первым сформулировал точную гипотезу, заметив, что это не самоочевидное утверждение, но требует доказательства. ^{[ цитата необходима ]} Легко установить этот результат для многоугольников , но проблема возникла в том, чтобы обобщить его на все виды кривых с плохим поведением, которые включают нигде не дифференцируемые кривые, такие как снежинка Коха и другие фрактальные кривые , или даже кривая Жордана положительной площади, построенной Осгудом (1903 г.) .

Первое доказательство этой теоремы было дано Камилем Жорданом в его лекциях по реальному анализу и опубликовано в его книге Cours d'analyse de l'École Polytechnique . ^[2] Есть некоторые разногласия по поводу того, было ли доказательство Джордана полным: большинство комментаторов утверждали, что первое полное доказательство было дано позже Освальдом Вебленом , который сказал следующее о доказательстве Джордана:

Однако его доказательство не удовлетворяет многих математиков. Он предполагает теорему без доказательства в важном частном случае простого многоугольника, и рассуждая с этого момента, следует признать, что, по крайней мере, не приводятся все подробности. ^[3]

Однако Томас К. Хейлз писал:

Почти все современные цитаты, которые я нашел, согласны с тем, что первое правильное доказательство принадлежит Веблену ... Ввиду резкой критики доказательства Джордана я был удивлен, когда сел читать его доказательство и не нашел в нем ничего предосудительного. С тех пор я связался с рядом авторов, критиковавших Джордана, и в каждом случае автор признавал, что не имел прямого представления об ошибке в доказательстве Джордана. ^[4]

Хейлз также отметил, что частный случай простых многоугольников - это не только простое упражнение, но Джордан в любом случае не использовал его, и процитировал слова Майкла Рикена:

Доказательство Джордана по существу правильное ... Доказательство Джордана не дает удовлетворительного представления деталей. Но идея верна, и после некоторой полировки доказательство будет безупречным. ^[5]

Ранее доказательство Жордана и другое раннее доказательство Шарля Жана де ла Валле Пуссена уже были критически проанализированы и дополнены Шенфлисом (1924). ^[6]

Из-за важности теоремы о кривой Жордана для низкоразмерной топологии и комплексного анализа она привлекла большое внимание выдающихся математиков первой половины 20-го века. Различные доказательства теоремы и ее обобщений были построены JW Александр , Луи Антуаном , Людвиг Бибербахом , Luitzen Брауэр , Данжуо , Фридрих Гартогсом , Бел Керекъярта , Альфред Прингсгеймом и Артур Moritz Шёнфлисом .

Продолжаются новые элементарные доказательства теоремы о жордановой кривой, а также упрощения предыдущих доказательств.

Элементарные доказательства были представлены Филипповым (1950) и Твербергом (1980) .
Доказательство с помощью нестандартного анализа с помощью Narens (1971) .
Доказательство с использованием конструктивной математики Гордона О. Берга, У. Джулиана, Р. Майнса и др. ( 1975 ).
Доказательство , используя теорему Брауэра о неподвижной точке на Maehara (1984) .
Доказательство использования непланарности из полного двудольного графа K _3,3 было дан Thomassen (1992) .

Корень трудности объясняется в Tverberg (1980) следующим образом. Относительно просто доказать, что теорема о жордановой кривой верна для любого жорданова многоугольника (лемма 1), и что любую жорданову кривую можно сколь угодно хорошо аппроксимировать жордановым многоугольником (лемма 2). Многоугольник Жордана - это многоугольная цепь , граница ограниченного связного открытого множества , назовем его открытым многоугольником, а его замыкание - замкнутым многоугольником. Рассмотрим диаметр самого большого диска, содержащегося в замкнутом многоугольнике. Очевидно, положительно. Используя последовательность жордановых многоугольников (которые сходятся к заданной жордановой кривой), мы получаем последовательность, предположительно сходящуюся к положительному числу, диаметру ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta _ {1}, \ delta _ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle \ delta}$ наибольшего диска, содержащегося в замкнутой области, ограниченной жордановой кривой. Однако мы должны доказать, что последовательность не сходится к нулю, используя только заданную жордановую кривую, а не область, предположительно ограниченную кривой. В этом суть леммы Тверберга 3. Грубо говоря, замкнутые многоугольники не должны всюду истончаться до нуля. Более того, они не должны где-то истекать до нуля, что и является предметом леммы 4 Тверберга. ${\ displaystyle \ delta _ {1}, \ delta _ {2}, \ dots}$

Первое формальное доказательство теоремы о кривой Жордана было создано Хейлсом (2007a) в системе HOL Light в январе 2005 года и содержало около 60 000 линий. Еще одно строгое формальное доказательство, состоящее из 6500 строк, было произведено в 2005 году международной командой математиков с использованием системы Мицара . Доказательство Mizar и HOL Light основано на библиотеках ранее доказанных теорем, поэтому эти два размера несопоставимы. Нобуюки Сакамото и Кейта Йокояма ( 2007 ) показали, что в обратной математике теорема о кривой Жордана эквивалентна слабой лемме Кенига над системой . р C А 0 {\ displaystyle {\ mathsf {RCA}} _ {0}}

См. Также [ править ]

Теорема Данжуа – Рисса , описание некоторых наборов точек на плоскости, которые могут быть подмножествами жордановых кривых.
Озера Вада
Квазифуксова группа , математическая группа, сохраняющая жордановую кривую
Комплексный анализ

Заметки [ править ]

^ Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Logos Verlag Berlin GmbH. п. 7. ISBN 9783832531195.
^ Камилла Джордан ( 1887 )
↑ Освальд Веблен ( 1905 )
^ Хейлз (2007b)
^ Хейлз (2007b)
↑ A. Schoenflies (1924). "Bemerkungen zu den Beweisen von C. Jordan und Ch. J. de la Vallée Poussin". Яресбер. Deutsch. Math.-Verein . 33 : 157–160.

Ссылки [ править ]

Берг, Гордон О .; Джулиан, W .; Мины, р .; Richman, Фред (1975), "Теорема кривой Конструктивный Джордан", Rocky Mountain Journal математики , 5 (2): 225-236, DOI : 10,1216 / RMJ-1975-5-2-225 , ISSN 0035-7596 , MR 0410701
Филиппов А.Ф. (1950), "Элементарное доказательство теоремы Жордана" (PDF) , Успехи матем. Наук , 5 (5): 173–176.
Хейлз, Томас К. (2007a), «Теорема Джордана о кривой, формально и неформально», The American Mathematical Monthly , 114 (10): 882–894, ISSN 0002-9890 , MR 2363054
Хейлз, Томас (2007b), «Доказательство Джордана теоремы о кривой Жордана» (PDF) , Исследования по логике, грамматике и риторике , 10 (23)
Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse (PDF) , стр. 587–594.
Маэхара, Ryuji (1984), "Иорданская Curve теорема Через Брауэра о неподвижной точке Теорема", Американский Математический Месячный , 91 (10): 641-643, DOI : 10,2307 / 2323369 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2323369 , MR 0769530
Narens, Луи (1971), "Нестандартное доказательство теоремы Жордана" , Тихоокеанский журнал математика , 36 : 219-229, DOI : 10,2140 / pjm.1971.36.219 , ISSN 0030-8730 , MR 0276940
Осгуд, Уильям Ф. (1903), "Жорданов Кривой положительной области", Труды Американского математического общества , 4 (1): 107-112, DOI : 10,2307 / 1986455 , ISSN 0002-9947 , JFM 34.0533.02 , JSTOR 1986455
Росс, Фиона; Росс, Уильям Т. (2011), «Жордан теорема нетривиален», Журнал математики и искусств , 5 (4): 213-219, DOI : 10,1080 / 17513472.2011.634320. сайт автора
Сакамото, Нобуюки; Yokoyama, Кейт (2007), "Теорема жордановой кривая и Шенфлис теорема в слабых арифметиках второго порядка", Архив для математической логики , 46 (5): 465-480, DOI : 10.1007 / s00153-007-0050-6 , ISSN 0933-5846 , MR 2321588
Thomassen, Карстен (1992), "The Jordan-Шенфлису теорема и классификация поверхностей", American Mathematical Monthly , 99 (2): 116-130, DOI : 10,2307 / 2324180 , JSTOR 2324180
Тверберг, Хельге (1980), «Доказательство теоремы о кривой Жордана» (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 12 (1): 34–38, CiteSeerX 10.1.1.374.2903 , doi : 10.1112 / blms / 12.1 0,34
Веблен, Освальд (1905), "Теория кривых на плоскости , в Non-метрические Анализ Situs", Труды Американского математического общества , 6 (1): 83-98, DOI : 10,2307 / 1986378 , JSTOR 1986378 , MR 1500697

Внешние ссылки [ править ]

М.И. Войцеховский (2001) [1994], "Теорема Жордана" , Энциклопедия математики , EMS Press
Полное формальное доказательство теоремы Жордана о кривой на 6500 строк в книге Мицара .
Сборник доказательств теоремы Жордана о кривой на домашней странице Эндрю Раницки
Простое доказательство теоремы Жордана о кривой (PDF) Дэвида Б. Голда
Brown, R .; Антолино-Камарена, О. (2014). «Исправление к« Группоидам, свойству Фрагмена-Брауэра и теореме о кривой Жордана », J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183». arXiv : 1404.0556 .

DOI : 10.1007 / 15.40062-014-0089-0

[1] Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Logos Verlag Berlin GmbH. п. 7. ISBN 9783832531195.

[2] Камилла Джордан ( 1887 )

[3] Освальд Веблен ( 1905 )

[4] Хейлз (2007b)

[5] Хейлз (2007b)

[6] A. Schoenflies (1924). "Bemerkungen zu den Beweisen von C. Jordan und Ch. J. de la Vallée Poussin". Яресбер. Deutsch. Math.-Verein . 33 : 157–160.

[1]