Групповая скорость

Частотная дисперсия в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. В красный квадрат движется с фазовой скоростью , а      зеленые кружки - с групповой скоростью. В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза больше групповой скорости . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо от фигуры.

Кажется, что новые волны возникают позади группы волн, растут по амплитуде, пока не окажутся в центре группы, и исчезают на фронте группы волн.

Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой.

Распространение волнового пакета с фазовой скоростью, превышающей групповую скорость, без дисперсии.

Это показывает волну с групповой скоростью и фазовой скоростью, идущую в разных направлениях. ^[1] Групповая скорость положительна (т. Е. Огибающая волны движется вправо), а фазовая скорость отрицательна (т. Е. Пики и впадины движутся влево).

Групповая скорость из волны является скоростью , с которой общей форма огибающей волны амплитуды известной как модуляция или огибающей волновой-проходит через пространство.

Например, если бросить камень в середину очень тихого пруда, в воде появится круговой узор волн с неподвижным центром, также известный как капиллярная волна . Расширяющееся кольцо волн - это группа волн , внутри которой можно различить отдельные вейвлеты разной длины, распространяющиеся с разной скоростью. Более короткие волны распространяются быстрее, чем группа в целом, ^{[ цитата необходима ] [ сомнительно - обсудить ],} но их амплитуды уменьшаются по мере приближения к переднему краю группы. Более длинные волны распространяются медленнее, и их амплитуды уменьшаются по мере того, как они выходят из задней границы группы.

Определение и толкование [ править ]

Определение [ править ]

 Волновой пакет .

 Огибающей волнового пакета. Огибающая движется с групповой скоростью.

Групповая скорость v _g определяется уравнением: ^{[2] [3] [4] [5]}

${\ Displaystyle v_ {g} \ \ Equiv \ {\ frac {\ partial \ omega} {\ partial k}} \,}$

где ω - угловая частота волны (обычно выражается в радианах в секунду ), а k - угловое волновое число (обычно выражается в радианах на метр). Фазовая скорость является: v _р = ω / к .

Функция ω ( к ) , что дает ω как функции к , известна как дисперсионное соотношение .

• Если ω является прямо пропорциональна с K , то групповая скорость в точности равна фазовой скорости. Волна любой формы будет перемещаться неискаженной с этой скоростью.
• Если ω является линейной функцией k , но не прямо пропорциональной ( ω = ak + b ) , то групповая скорость и фазовая скорость различны. Огибающая волнового пакета (см. Рисунок справа) будет двигаться с групповой скоростью, в то время как отдельные пики и впадины внутри оболочки будут двигаться с фазовой скоростью.
• Если ω не является линейной функцией k , огибающая волнового пакета будет искажаться по мере его распространения. Поскольку волновой пакет содержит диапазон разных частот (и, следовательно, разные значения k ), групповая скорость ∂ω / ∂k будет различной для разных значений k . Следовательно, оболочка не движется с одной скоростью, но ее компоненты волнового числа ( k ) движутся с разными скоростями, искажая оболочку. Если волновой пакет имеет узкий диапазон частот и ω ( k )приблизительно линейна в этом узком диапазоне, искажение импульса будет небольшим по сравнению с небольшой нелинейностью. См. Дальнейшее обсуждение ниже . Например, для глубоководных гравитационных волн , и, следовательно, v _g = v _p / 2 .${\ textstyle \ omega = {\ sqrt {gk}}}$
  Это лежит в основе Кельвина бодрствование шаблон для носовой волны всех судов и плавательных объектов. Независимо от того, насколько быстро они движутся, пока их скорость постоянна, с каждой стороны след образует угол 19,47 ° = arcsin (1/3) с линией движения. ^[6]

Вывод [ править ]

Один вывод формулы для групповой скорости следующий. ^{[7] [8]}

Рассмотрим волновой пакет как функцию положения x и времени t : α ( x , t ) .

Пусть A ( k ) - его преобразование Фурье в момент времени t = 0 ,

${\ displaystyle \ alpha (x, 0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \, A (k) e ^ {ikx}.}$

По принципу суперпозиции волновой пакет в любой момент времени t равен

${\ Displaystyle \ альфа (х, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \, A (k) e ^ {я (kx- \ omega t)},}$

где ω неявно зависит от k .

Предположим, что волновой пакет α почти монохроматичен , так что A ( k ) имеет резкий пик около центрального волнового числа k ₀ .

Тогда линеаризация дает

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}}$

куда

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$ и ${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}}$

(см. следующий раздел для обсуждения этого шага). Затем, после некоторой алгебры,

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}$

В этом выражении есть два фактора. Первый фактор описывает идеальную монохроматическую волну с волновым вектором k ₀ , с пиками и впадинами, движущимися с фазовой скоростью в пределах огибающей волнового пакета.${\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}$ ${\displaystyle \omega _{0}/k_{0}}$

Другой фактор,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}}$,

дает огибающую волнового пакета. Эта функция конверта зависит от положения и времени только через комбинацию .${\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}$

Следовательно, огибающая волнового пакета движется со скоростью

${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,}$

что объясняет формулу групповой скорости.

Члены высшего порядка по дисперсии [ править ]

Часть предыдущего вывода - это приближение ряда Тейлора, которое:

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}$

Если волновой пакет имеет относительно большой разброс частот, или если дисперсия ω (k) имеет резкие изменения (например, из-за резонанса ), или если пакет распространяется на очень большие расстояния, это предположение неверно, и термины в расширении Тейлора становятся важными.

В результате огибающая волнового пакета не только перемещается, но и искажается, что может быть описано дисперсией групповой скорости материала . Грубо говоря, разные частотные компоненты волнового пакета движутся с разной скоростью, причем более быстрые компоненты движутся к передней части волнового пакета, а более медленные - к задней. В конце концов, волновой пакет растягивается. Это важный эффект при распространении сигналов по оптоволоконным кабелям и при разработке мощных лазеров с короткими импульсами.

История [ править ]

Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было сделано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году ^[9].

Другие выражения [ править ]

Для света показатель преломления n , длина волны вакуума λ ₀ и длина волны в среде λ связаны соотношением

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{p}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{p}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},}$

с об _р  =  ω / K на фазовой скорости .

Следовательно, групповая скорость может быть вычислена по любой из следующих формул:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{p}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{p}-\lambda {\frac {\partial v_{p}}{\partial \lambda }}=v_{p}+k{\frac {\partial v_{p}}{\partial k}}.\end{aligned}}}$

Связь с фазовой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи [ править ]

В трех измерениях [ править ]

Для волн, распространяющихся в трех измерениях, таких как световые волны, звуковые волны и волны материи, формулы для фазовой и групповой скорости обобщаются простым способом: ^[10]

Одно измерение: ${\displaystyle v_{p}=\omega /k,\quad v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,}$

Три измерения: ${\displaystyle ({v}_{p})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{g}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}$

куда

${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }$

означает градиент от угловой частоты со в зависимости от волнового вектора , и это единичный вектор в направлении к .${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Если волны распространяются через анизотропную (т.е. не осесимметричную) среду, например кристалл , то вектор фазовой скорости и вектор групповой скорости могут указывать в разных направлениях.

В носителях с потерями или доходом [ править ]

Групповая скорость часто рассматривается как скорость, с которой энергия или информация передаются по волне. В большинстве случаев это точно, а групповая скорость можно рассматривать как скорости сигнала от сигнала . Однако, если волна распространяется через поглощающую среду или среду с потоком, это не всегда верно. В этих случаях групповая скорость не может быть точно определенной величиной или не может быть значимой величиной.

В своем тексте «Распространение волн в периодических структурах» ^[11] Бриллюэн утверждал, что в диссипативной среде групповая скорость перестает иметь ясный физический смысл. Пример передачи электромагнитных волн через атомарный газ дал Лаудон. ^[12] Другой пример - механические волны в фотосфере Солнца : волны затухают (за счет лучистого теплового потока от пиков к впадинам), и в связи с этим скорость энергии часто существенно ниже групповой скорости волн. ^[13]

Несмотря на эту неоднозначность, распространенный способ распространения концепции групповой скорости на сложные среды - это рассмотрение пространственно затухающих решений плоских волн внутри среды, которые характеризуются комплексным волновым вектором. Затем мнимая часть волнового вектора произвольно отбрасывается, и обычная формула для групповой скорости применяется к действительной части волнового вектора, т. Е.

${\displaystyle v_{g}=\left({\frac {\partial (\operatorname {Re} k)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.}$

Или, что то же самое, в терминах действительной части комплексного показателя преломления , n = n + iκ , имеем ^[14]

${\displaystyle {\frac {c}{v_{g}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.}$

Можно показать, что это обобщение групповой скорости по-прежнему связано с кажущейся скоростью пика волнового пакета. ^[15] Приведенное выше определение не является универсальным, однако: в качестве альтернативы можно рассмотреть временное затухание стоячих волн (действительное k , комплексное ω ) или позволить групповой скорости быть комплексной величиной. ^{[16] [17]} Различные соображения приводят к разным скоростям, но все определения совпадают для случая среды без потерь и без усиления.

Приведенное выше обобщение групповой скорости для сложных сред может вести себя странно, и пример аномальной дисперсии служит хорошей иллюстрацией. На краях области аномальной дисперсии становится бесконечной (превышающей даже скорость света в вакууме ) и легко может стать отрицательной (ее знак противоположен Re k ) внутри полосы аномальной дисперсии. ^{[18] [19] [20]}${\displaystyle v_{g}}$${\displaystyle v_{g}}$

Сверхсветовые групповые скорости [ править ]

Начиная с 1980-х годов, различные эксперименты подтвердили возможность того, что групповая скорость (как определено выше) лазерных световых импульсов, посылаемых через материалы с потерями или полезные материалы, может значительно превышать скорость света в вакууме c . Также было замечено, что пики волновых пакетов движутся быстрее, чем c .

Однако во всех этих случаях нет возможности, что сигналы могут передаваться быстрее скорости света в вакууме , поскольку высокое значение v _gне помогает ускорить истинное движение острого волнового фронта, которое могло бы произойти в начале любого реального сигнала. По сути, кажущееся сверхсветовым пропусканием является артефакт узкополосного приближения, использованного выше для определения групповой скорости, и происходит из-за явлений резонанса в промежуточной среде. При широком полосном анализе видно, что кажущаяся парадоксальной скорость распространения огибающей сигнала на самом деле является результатом локальной интерференции более широкой полосы частот в течение многих циклов, все из которых распространяются совершенно причинно и с фазовой скоростью. Результат сродни тому, что тени могут перемещаться быстрее света, даже если вызывающий их свет всегда распространяется со скоростью света; поскольку измеряемое явление лишь слабо связано с причинностью,он не обязательно соблюдает правила причинного распространения, даже если он при нормальных обстоятельствах делает это и приводит к общей интуиции.^{[14] [18] [19] [21] [22]}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• У Грега Игана на своем веб-сайте есть отличный Java-апплет, который иллюстрирует очевидное отличие групповой скорости от фазовой .
• У Маартена Амбаума есть веб-страница с фильмом, демонстрирующим важность групповой скорости для последующего развития погодных систем.
• Фаза и групповая скорость - различные отношения фазовой и групповой скорости (анимация)