Волновой пакет

Волновой пакет без дисперсии (действительная или мнимая часть)

Волновой пакет с дисперсией

В физике волнового пакета (или волна поезда ) является коротким «взрывом» или « огибающий » локализованного волнового воздействия , которая перемещается как единое целое. Волновой пакет может быть проанализирован или может быть синтезирован из бесконечного набора составляющих синусоидальных волн с разными волновыми числами с такими фазами и амплитудами, что они конструктивно интерферируют только в небольшой области пространства и деструктивно в другом месте. ^[1] Каждая составляющая волновой функции и, следовательно, волновой пакет являются решениями волнового уравнения . В зависимости от волнового уравнения профиль волнового пакета может оставаться постоянным (без дисперсиисм. рисунок) или может изменяться (дисперсия) во время распространения.

Квантовая механика придает волновому пакету особое значение; он интерпретируется как амплитуда вероятности , квадрат ее нормы, описывающий плотность вероятности того, что частица или частицы в определенном состоянии будут иметь заданное положение или импульс. Волновое уравнение в данном случае является уравнением Шредингера . Можно вывести эволюцию квантово-механической системы во времени, аналогично процессу гамильтонова формализма в классической механике . Дисперсионный характер решений уравнения Шредингера сыграл важную роль в отказе от первоначальной интерпретации Шредингера., и принимая правило Борна . ^{[ необходима цитата ]}

В координатном представлении волны (например, в декартовой системе координат ) положение локальной вероятности физического объекта задается положением пакетного решения. Более того, чем уже пространственный волновой пакет и, следовательно, чем лучше локализовано положение волнового пакета, тем больше разброс импульсов волны. Этот компромисс между спредом позиции и спредом импульса является характерной чертой принципа неопределенности Гейзенберга и будет проиллюстрирован ниже.

Историческая справка [ править ]

В начале 1900-х годов стало очевидно, что классическая механика имеет несколько серьезных недостатков. Изначально Исаак Ньютон предложил идею о том, что свет приходит в виде дискретных пакетов, которые он назвал корпускулами , но волнообразное поведение многих световых явлений быстро привело ученых к предпочтению волнового описания электромагнетизма . Только в 1930-х годах природа частиц света стала по-настоящему широко приниматься в физике. Развитие квантовой механики - и ее успех в объяснении запутанных экспериментальных результатов - лежало в основе этого признания. Таким образом, одна из основных концепций в формулировке квантовой механики заключается в том, что свет приходит в виде дискретных пучков, называемых фотонами.. Энергия фотона зависит от его частоты,

${\ displaystyle E = h \ nu.}$^[2]

Энергия фотона равна постоянной Планка , ч , умноженная на его частоте, v , . Это решило проблему классической физики, названную ультрафиолетовой катастрофой .

Идеи квантовой механики продолжали развиваться на протяжении всего ХХ века. Созданная картина представляла собой мир из частиц, в котором все явления и материя состоят из отдельных частиц и взаимодействуют с ними; однако эти частицы описывались волной вероятности. Взаимодействия, местоположения и вся физика будут сведены к расчетам этих амплитуд вероятности.

Подобная частицам природа мира была подтверждена экспериментами более века, в то время как волновые явления можно было охарактеризовать как следствия волнового пакета квантовых частиц (см. Дуальность волны-частицы ). Согласно принципу дополнительности , волновые и частичные характеристики никогда не проявляются одновременно, т. Е. В одном эксперименте; посмотрите, однако, эксперимент Афшара и оживленную дискуссию вокруг него.

Базовое поведение [ править ]

Недисперсионный [ править ]

В качестве примера распространения без дисперсии рассмотрим волновые решения следующего волнового уравнения из классической физики

${\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial t ^ {2}} = c ^ {2} \, \ nabla ^ {2} u,}$

где c - скорость распространения волны в данной среде.

Используя соглашение физики о времени, exp (- iωt ) , волновое уравнение имеет плоско-волновые решения

${\ Displaystyle и (\ mathbf {x}, t) = е ^ {я {(\ mathbf {k \ cdot x}} - \ omega t)},}$

куда

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = | \ mathbf {k} | ^ {2} c ^ {2},}$ и ${\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.}$

Это соотношение между ω и k должно быть справедливым, чтобы плоская волна была решением волнового уравнения. Это называется дисперсионным соотношением .

Для упрощения рассмотрим только волны, распространяющиеся в одном измерении (расширение до трех измерений не вызывает затруднений). Тогда общее решение

${\displaystyle u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)},}$

в котором можно взять ω = kc . Первый член представляет волну, распространяющуюся в положительном x- направлении, поскольку это функция только x - ct ; второй член, являющийся функцией x + ct , представляет волну, распространяющуюся в отрицательном x- направлении .

Волновой пакет - это локализованное возмущение, которое возникает в результате суммы множества различных волновых форм . Если пакет сильно локализован, необходимо больше частот, чтобы разрешить конструктивную суперпозицию в области локализации и деструктивную суперпозицию за пределами области. Из основных решений в одном измерении общий вид волнового пакета может быть выражен как

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.}$

Как и в случае плоской волны, волновой пакет движется вправо при ω (k) = kc , поскольку u (x, t) = F (x - ct) , и влево при ω (k) = −kc , поскольку u (x, t) = F (x + ct) .

Фактор ¹ / _{√ 2я} происходит от преобразования Фурье конвенции. Амплитуда A (k) содержит коэффициенты линейной суперпозиции плоских волновых решений. Эти коэффициенты, в свою очередь, могут быть выражены как функция от u (x, t), вычисленная при t = 0 путем инвертирования соотношения преобразования Фурье, приведенного выше:

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.}$

Например, выбирая

${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}$

мы получаем

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}$

и наконец

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}$

Бездисперсное распространение действительной или мнимой части этого волнового пакета представлено на анимации выше.

Дисперсный [ править ]

Напротив, в качестве примера распространения теперь с дисперсией рассмотрим вместо этого решения уравнения Шредингера (Pauli 2000, где m и ħ установлены равными единице),

${\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}\psi },}$

что дает дисперсионное соотношение

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}|\mathbf {k} |^{2}.}$

Еще раз, ограничивая внимание одним измерением, решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее начальному условию , представляющее волновой пакет, локализованный в пространстве в начале координат, выглядит следующим образом:${\displaystyle ~\psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp({-x^{2}+ik_{0}x})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}$

Впечатление о дисперсионном поведении этого волнового пакета получается, если посмотреть на плотность вероятности:

${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.}$

Очевидно, что этот дисперсионный волновой пакет, перемещаясь с постоянной групповой скоростью k _o , быстро делокализируется: его ширина увеличивается со временем как √ 1 + 4 t ² → 2 t , поэтому в конечном итоге он распространяется в неограниченную область пространства. . ^{[nb 1]}

Профиль импульса A (k) остается неизменным. Тока вероятности является

${\displaystyle j=\rho v={\frac {1}{2i}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})=\rho \left(k_{0}+{\frac {4t(x-k_{0}t)}{1+4t^{2}}}\right).}$

Гауссовские волновые пакеты в квантовой механике [ править ]

Вышеупомянутый дисперсионный гауссовский волновой пакет, ненормализованный и просто центрированный в начале координат, вместо этого, при t = 0, теперь может быть записан в 3D, теперь в стандартных единицах: ^{[3] [4]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$

где а - положительное действительное число, квадрат ширины волнового пакета ,

${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2}.}$

Преобразование Фурье также является гауссовым в терминах волнового числа t = 0, k -вектора (с обратной шириной,

${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2},}$

так что

${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$

т.е. насыщает соотношение неопределенностей ),

${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$

Каждая отдельная волна вращается только по фазе во времени, так что решение с преобразованием Фурье с временной зависимостью имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}}$

Обратное преобразование Фурье по-прежнему гауссово, но теперь параметр a стал сложным, и есть общий коэффициент нормализации. ^[5]

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.}$

Интеграл Ф во всем пространстве инвариантен, потому что это скалярное произведение Ф с состоянием нулевой энергии, которая является волной с бесконечной длиной волной, с постоянной функцией пространства. Для любого собственного состояния энергии η ( x ) скалярное произведение

${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$

изменяется только во времени простым способом: его фаза вращается с частотой, определяемой энергией η . Когда η имеет нулевую энергию, как волна с бесконечной длиной волны, она вообще не меняется.

Интеграл ∫ | Ψ | ² d ³ r также является инвариантом, что является утверждением сохранения вероятности. Ясно,

${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$

в котором √ a - ширина P (r) при t = 0 ; r - расстояние от начала координат; скорость частицы равна нулю; а начало отсчета времени t = 0 можно выбрать произвольно.

Ширина гауссианы - это интересная величина, которую можно определить по плотности вероятности | Ψ | ² ,

${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}}.}$

Эта ширина в конечном итоге линейно растет во времени, как ħt / (m√a) , что указывает на расширение волнового пакета .

Например, если электронный волновой пакет изначально локализован в области с атомными размерами (т. ^Е. 10 ^-10 м), то ширина пакета удваивается примерно за 10 ^-16 с. Ясно, что волновые пакеты частиц действительно очень быстро распространяются (в свободном пространстве): ^[6] Например, через 1 мс ширина вырастет примерно до километра.

Этот линейный рост является отражением неопределенности (стационарна) импульса: волновой пакет ограничен узким ? X = √ / 2 , и поэтому имеет импульс , который является неопределенным ( в соответствии с принципом неопределенности ) на величину ħ / √ 2 a , разброс по скорости ħ / m √ 2 a , и, таким образом, в будущем положении на ħt / m √ 2 a . Таким образом, соотношение неопределенностей представляет собой строгое неравенство, которое действительно очень далеко от насыщения! Начальная неопределенность ΔxΔp = ħ / 2 теперь увеличилась в разħt / ma (для больших t ).

Поезд волн Эйри [ править ]

В отличие от вышеупомянутого гауссова волнового пакета, было замечено ^[7], что определенная волновая функция, основанная на функциях Эйри , распространяется свободно без дисперсии огибающей, сохраняя свою форму. Он ускоряется без искажений в отсутствие силового поля: ψ = Ai ( B ( x - B ³ t ²)) exp (i B ³ t ( x −2 B ³ t ² / 3)) . (Для простоты, ħ = 1, т = 1/2, а B является константой, ср обезразмеривания .)

Тем не менее, нет никакого диссонанса с теоремой Эренфеста в этой бессиловой ситуации, поскольку государство как не-нормируемый и имеет неопределенный (бесконечный) ⟨ х ⟩ на все времена. (В той степени , в которой оно может быть определено, ⟨ р ⟩ = 0 для всех времен, несмотря на очевидное ускорение фронта.)

В фазовом пространстве это очевидно в распределении квазивероятностей Вигнера в чистом состоянии для этого волнового потока, форма которого по x и p инвариантна с течением времени, но характеристики которого ускоряются вправо, в ускоряющихся параболах B ( x - B ³ t ²) + ( p / B - tB ²) ² = 0 , ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={1 \over 2^{1/3}\pi B}~\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(Bx+{p^{2} \over B^{2}}-2Bpt\right)\right).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что импульсное распределение, полученное интегрированием по всем x , постоянно. Поскольку это плотность вероятности в импульсном пространстве , очевидно, что сама волновая функция не нормируема.

В 2018 году совместными усилиями исследователей из израильских, немецких и американских университетов было проведено первое экспериментальное наблюдение кубической фазы ускоряющихся волновых пакетов Эйри. ^[9]

Бесплатный пропагатор [ править ]

Узкая шириной предел гауссово решение волнового пакета обсуждаемого является свободным Пропагатором ядро К . Для других дифференциальных уравнений, это обычно называется функцией Грина, ^[10] , но в квантовой механике является традиционным для резервирования функции от имени Грина для времени преобразования Фурье K .

Возвращаясь к одному измерению для простоты, с m и ħ, установленными равными единице, когда a является бесконечно малой величиной ε , начальным условием Гаусса, масштабируемым таким образом, чтобы его интеграл был равен единице,

${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \epsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\epsilon }}\,}$

становится дельта - функцию , & delta ; (х) , так что его временной эволюции,

${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\epsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\epsilon }\,}$

дает пропагатор.

Обратите внимание, что очень узкий начальный волновой пакет мгновенно становится бесконечно широким, но с фазой, которая более быстро колеблется при больших значениях x . Это может показаться странным - решение переходит от локализации в одной точке к тому, чтобы быть «повсюду» во все более поздние времена , но это отражение огромной неопределенности импульса локализованной частицы, как объяснено выше.

Далее обратите внимание, что норма волновой функции бесконечна, что также верно, поскольку квадрат дельта-функции расходится таким же образом.

Фактор, включающий ε, является бесконечно малой величиной, которая нужна для того, чтобы убедиться, что интегралы по K правильно определены. В пределе ε → 0 K становится чисто осциллирующим, и интегралы от K не сходятся абсолютно. В оставшейся части этого раздела он будет установлен в ноль, но для того, чтобы все интегрирования по промежуточным состояниям были четко определены, предел ε → 0 должен приниматься только после вычисления конечного состояния.

Пропагатор - это амплитуда достижения точки x в момент времени t при запуске в начале координат, x = 0. Благодаря инвариантности сдвига амплитуда для достижения точки x при запуске в точке y является той же функцией, только теперь переведенной,

${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$

В пределе, когда t мало, пропагатор, конечно, переходит к дельта-функции:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$

но только в смысле распределений : интеграл от этой величины, умноженный на произвольную дифференцируемую пробную функцию, дает значение пробной функции в нуле.

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что интеграл по всему пространству K всегда равен 1,

${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$

так как этот интеграл является скалярным произведением K с однородной волновой функцией. Но фазовый множитель в показателе экспоненты имеет ненулевую пространственную производную везде, кроме начала координат, и поэтому, когда время невелико, есть быстрые сокращения фазы во всех точках, кроме одной. Это строго верно, когда предел ε → 0 берется в самом конце.

Таким образом, ядро ​​распространения - это (будущая) эволюция дельта-функции во времени, и она в некотором смысле непрерывна: на малых временах она переходит к начальной дельта-функции. Если исходная волновая функция представляет собой бесконечно узкий пик в позиции y ,

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$

она становится колебательной волной,

${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$

Теперь, поскольку каждую функцию можно записать как взвешенную сумму таких узких пиков,

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$

временная эволюция каждой функции ψ ₀ определяется этим ядром распространения K ,

Таким образом, это формальный способ выразить фундаментальное решение или общее решение . Интерпретация этого выражения заключается в том, что амплитуда частицы, которая должна быть найдена в точке x в момент времени t, равна амплитуде, с которой она началась в y , умноженная на амплитуду, которую она перешла от y к x , суммированная по всем возможным начальным точкам . Другими словами, это свертка ядра K с произвольным начальным условием ψ ₀ ,

${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$

Поскольку амплитуду, идущую от x к y по прошествии времени t + t ', можно рассматривать в два этапа, пропагатор подчиняется тождеству композиции,

${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$

что можно интерпретировать следующим образом: амплитуда, которая проходит от x до z за время t + t ', представляет собой сумму амплитуды, которая проходит от x до y за время t , умноженная на амплитуду, которая проходит от y до z за время t ', суммированного по всем возможным промежуточным состояниям y . Это свойство произвольной квантовой системы, и за счет разделения времени на множество сегментов оно позволяет выразить временную эволюцию как интеграл по путям . ^[11]

Аналитическое продолжение диффузии [ править ]

Распространение волновых пакетов в квантовой механике напрямую связано с распределением плотностей вероятностей при диффузии . Для случайной частицы функция плотности вероятности в любой точке удовлетворяет уравнению диффузии (см. Также уравнение теплопроводности ),

${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ~,}$

где множитель 2, который можно удалить, изменяя масштаб во времени или пространстве, используется только для удобства.

Решением этого уравнения является гауссиан растекания,

${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t}~,}$

и, поскольку интеграл от ρ _t постоянен, а ширина сужается на малых временах, эта функция приближается к дельта-функции при t = 0,

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)\,}$

опять же только в смысле распределений, так что

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)\,}$

для любой гладкой тестовой функции f .

Расширяющийся гауссиан является ядром распространения для уравнения диффузии и подчиняется тождеству свертки ,

${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$

что позволяет выразить диффузию как интеграл по путям. Пропагатор - это экспонента от оператора H ,

${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$

который является оператором бесконечно малой диффузии,

${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$

Матрица имеет два индекса, которые в непрерывном пространстве делают ее функцией от x и x '. В этом случае, из-за инвариантности перевода, матричный элемент K зависит только от разницы позиций, и удобное злоупотребление обозначениями состоит в том, чтобы ссылаться на оператор, матричные элементы и функцию разности с тем же именем:

${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$

Трансляционная инвариантность означает, что непрерывное умножение матриц,

${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$

по сути свертка,

${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$

Экспонента может быть определена в диапазоне t s, который включает комплексные значения, при условии, что интегралы по ядру распространения остаются сходящимися,

${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$

До тех пор , как действительная часть г положительна, при больших значениях х , К экспоненциально убывает, и интегралы по К действительно сходится абсолютно.

Предел этого выражения для z, приближающегося к чисто мнимой оси, - это встреченный выше пропагатор Шредингера,

${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\epsilon }=e^{-(it+\epsilon )H}\,,}$

который иллюстрирует указанную выше эволюцию гауссианов во времени.

Исходя из фундаментальной сущности возведения в степень или интеграции путей,

${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$

выполняется для всех комплексных значений z , где интегралы абсолютно сходятся, так что операторы хорошо определены.

Таким образом, квантовая эволюция гауссиана, являющегося комплексным диффузионным ядром K ,

${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$

составляет состояние, эволюционировавшее во времени,

${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$

Это иллюстрирует указанную выше диффузную форму комплексных гауссовских решений,

${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$

См. Также [ править ]

Замечания [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эйнштейн, Альберт (1905), «Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Об эвристической точке зрения, касающейся производства и преобразования света)» (PDF) , Annalen der Physik , 17 (6): 132–148, Bibcode : 1905AnP ... 322..132E , doi : 10.1002 / andp.19053220607Эта статья annus mirabilis о фотоэлектрическом эффекте была получена Annalen der Physik 18 марта 1905 г.
• Шифф, Леонард I. (1968), Квантовая механика (третье изд.), Лондон: McGraw-Hill
• Джой Маннерс (2000), Квантовая физика: Введение , CRC Press, стр. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8
• Паули, Вольфганг (2000), Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике , Книги по физике, Dover Publications , ISBN 978-0486414621
• Abers, E .; Пирсон, Эд (2004), квантовая механика , Эддисон Уэсли , Prentice-Hall Inc. , ISBN 978-0-13-146100-0
• Ричард Фицпатрик, Колебания и волны
• Берри М.В.; Balazs, NL (1979), "Нераспространяющиеся волновые пакеты", Am J Phys , 47 (47): 264–267, Bibcode : 1979AmJPh..47..264B , doi : 10.1119 / 1.11855
• Джексон, JD (1975), Классическая электродинамика (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. , ISBN 978-0-471-43132-9
• Фейнман, Р.П . ; Hibbs, AR (1965), Квантовая механика и интегралы по траекториям , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-020650-2( Дувр , 2010 г., ISBN 0-486-47722-3 .) 
• Уиллер, Николас (2004), Энергетика гауссовского волнового пакета

Внешние ссылки [ править ]

• Учебные материалы по движению волновых пакетов в Викиверситете
• Словарное определение волнового пакета в Викисловаре
• Пакетный график 1d Wave в Google
• 1d волновой поезд и график плотности вероятности в Google
• Пакетный график 2d Wave в Google
• Сюжет поезда 2d Wave в Google
• 2d график плотности вероятности в Google
• Моделирование волнового пакета в 2D (согласно FOURIER-Synthesis в 2D)
• Кертрайт, Т.Л., Зависящие от времени функции Вигнера
• Web-Schödinger : Интерактивное моделирование динамики двумерных волновых пакетов