Уравнение Бюргерса или уравнение Бейтмена-Бюргерса является фундаментальным уравнением в частных производных, происходящих в различных областях прикладной математики , таких как механики жидкости , [1] нелинейная акустика , [2] газовой динамики , а также транспортный поток . Уравнение было впервые введено Гарри Бейтманом в 1915 году [3] [4], а затем изучено Иоганнесом Мартинусом Бургерсом в 1948 году [5].
Для данного поля и коэффициент диффузии (или кинематическая вязкость , как в механическом контексте исходной жидкости), общая форма уравнения Бюргерса (также известного как вязкое уравнение Бюргерса ) в одном измерении пространства - это диссипативная система :
Когда термин диффузии отсутствует (т. Е. ) Уравнение Бюргерса становится невязким уравнением Бюргерса :
который является прототипом уравнений сохранения , в которых могут возникать разрывы ( ударные волны ). Предыдущее уравнение является адвективной формой уравнения Бюргерса. Консервативная форма оказывается более полезным при численном интегрировании
Объяснение терминов
В уравнении Бюргерса 4 члена: а также . В системе, состоящей из движущейся вязкой жидкости с одним пространственным () и один височный () размер, например, тонкая идеальная труба с протекающей по ней жидкостью, уравнение Бюргерса описывает скорость жидкости в каждом месте вдоль трубы с течением времени. Члены уравнения представляют следующие величины: [6]
- : пространственная координата
- : временная координата
- : скорость жидкости в указанных пространственных и временных координатах
- : вязкость жидкости
Вязкость - это постоянное физическое свойство жидкости, а другие члены представляют динамику, зависящую от этой вязкости.
Уравнение невязкого Бюргерса
Невязкое уравнение Бюргерса - это уравнение сохранения , в более общем смысле квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка . Решение уравнения и вместе с начальным условием
можно построить методом характеристик . Характеристические уравнения:
Интегрирование второго уравнения говорит нам, что постоянна вдоль характеристики, и интегрирование первого уравнения показывает, что характеристики являются прямыми линиями, т. е.
где - точка (или параметр) на оси x ( t = 0) плоскости x - t, из которой строится характеристическая кривая. Поскольку в этой точке скорость известна из начального условия и того факта, что это значение не изменяется при движении по характеристике, исходящей из этой точки, мы пишемпо этой характеристике. Следовательно, траектория этой характеристики равна
Таким образом, решение дается формулой
Это неявное соотношение, которое определяет решение невязкого уравнения Бюргерса при условии, что характеристики не пересекаются. Если характеристики действительно пересекаются, то классического решения PDE не существует и приводит к образованию ударной волны . Фактически, время разрушения до образования ударной волны определяется выражением
Невязкое уравнение Бюргерса для линейного начального условия
Субраманян Чандрасекар предоставил явное решение в 1943 году, когда начальное условие было линейным, т. Е., где a и b - постоянные. [7] Явное решение
Это решение также является полным интегралом невязкого уравнения Бюргерса, поскольку оно содержит столько произвольных констант, сколько независимых переменных, входящих в уравнение. [8] [ необходим лучший источник ] Явные решения для других соответствующих начальных условий, как правило, не известны.
Уравнение вязкого Бюргерса
Вязкое уравнение Бюргерса можно преобразовать в линейное уравнение с помощью преобразования Коула – Хопфа , [9] [10] [11]
что превращает его в уравнение
которые можно проинтегрировать по чтобы получить
где - функция, зависящая от граничных условий. Еслитождественно (например, если задача должна быть решена в периодической области), то мы получаем уравнение диффузии
Уравнение диффузии может быть решено и преобразование Коула – Хопфа обращено, чтобы получить решение уравнения Бюргерса:
Другие формы
Обобщенное уравнение Бюргерса
Обобщенное уравнение Бюргерса расширяет квазилинейную конвекцию до более обобщенного вида, т. Е.
где - произвольная функция от u. Невязкий уравнение по-прежнему является квазилинейным гиперболическим уравнением для и его решение может быть построено, как и ранее, методом характеристик . [12]
Стохастическое уравнение Бюргерса
Добавлен пространственно-временной шум образует стохастическое уравнение Бюргерса [13]
Этот стохастический УЧП является одномерной версией уравнения Кардара – Паризи – Жанга в поле при замене .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Он относится к уравнению импульса Навье – Стокса с удаленным членом давления. Уравнение Бюргерса (PDF): здесь переменная - скорость потока y = u
- ^ Он возникает из уравнения Вестервельта с предположением о строго распространяющихся вперед волнах и с использованием преобразования координат в запаздывающие временные рамки: здесь переменная - давление
- Перейти ↑ Bateman, H. (1915). Некоторые недавние исследования движения жидкостей. Ежемесячный обзор погоды, 43 (4), 163-170.
- ^ Уиземовские, GB (2011). Линейные и нелинейные волны (Том 42). Джон Вили и сыновья.
- ^ Бюргерс, JM (1948). Математическая модель, иллюстрирующая теорию турбулентности. В «Успехах прикладной механики» (т. 1, с. 171-199). Эльзевир.
- ^ Кэмерон, Мария. «Заметки об уравнении Бюргерса» (PDF) .
- ^ Чандрасекхар, С. (1943). О распаде плоских ударных волн (Доклад). Баллистические исследовательские лаборатории. Отчет № 423.
- ^ Форсайт, АР (1903). Трактат о дифференциальных уравнениях . Лондон: Макмиллан.
- ^ Коул, Джулиан (1951). «О квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике». Ежеквартальный вестник прикладной математики . 9 (3): 225–236. JSTOR 43633894 .
- ^ Эберхард Хопф (сентябрь 1950 г.). «Уравнение в частных производных y u t + uu x = μu xx ». Сообщения по чистой и прикладной математике . 3 (3): 201–230. DOI : 10.1002 / cpa.3160030302 .
- ^ Кеворкян, Дж. (1990). Уравнения с частными производными: методы аналитического решения . Бельмонт: Уодсворт. С. 31–35. ISBN 0-534-12216-7.
- ^ Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Vol. II.
- ^ Wang, W .; Робертс, AJ (2015). "Диффузионное приближение для автомодельности стохастической адвекции в уравнении Бюргерса". Сообщения по математической физике . 333 : 1287–1316. arXiv : 1203.0463 . DOI : 10.1007 / s00220-014-2117-7 .
Внешние ссылки
- Уравнение Бюргерса в EqWorld: мир математических уравнений.
- Уравнение Бюргерса в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.