В газовой динамики , уравнение Чаплыгина , названный в честь Сергея Алексеевича Чаплыгина (1902), представляет собой частичное дифференциальное уравнение полезно при изучении трансзвукового потока . [1] [2] Это
![{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ theta ^ {2}}} + {\ frac {v ^ {2}} {1 - {\ frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial v ^ {2}}} + v {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial v} } = 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Здесь,
- скорость звука , определяемая уравнением состояния жидкости и сохранения энергии.
Для двумерного потенциального потока уравнение неразрывности и уравнения Эйлера (фактически, сжимаемое уравнение Бернулли из-за безвихревости) в декартовых координатах
с участием переменных скорости жидкости
, удельная энтальпия
и плотность
находятся
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
с уравнением состояния
действует как третье уравнение. Здесь
энтальпия торможения,
- величина вектора скорости и
энтропия. Для изэнтропического потока плотность может быть выражена как функция только энтальпии.
, которое, в свою очередь, с использованием уравнения Бернулли может быть записано как
.
Поскольку поток является безвихревым, потенциал скорости
существует и его дифференциал просто
. Вместо лечения
а также
в качестве зависимых переменных мы используем преобразование координат, такое что
а также
становятся новыми зависимыми переменными. Аналогичным образом потенциал скорости заменяется новой функцией ( преобразование Лежандра )
![{\displaystyle \Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
так что его дифференциал равен
, следовательно
![{\displaystyle x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вводя другое преобразование координат для независимых переменных из
к
в соответствии с отношением
а также
, где
- величина вектора скорости и
- угол между вектором скорости и
-оси зависимые переменные становятся
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Уравнение неразрывности в новых координатах принимает вид
![{\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для изэнтропического потока
, где
это скорость звука. Используя уравнение Бернулли, находим
![{\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
. Следовательно, мы имеем
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)